Calcular as derivadas pelas regras de derivação.
j3(x)=arg tgh(x) cdot arcsen(x)+arg cotgh(x) cdot arccos (x)+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \(
j_{3}(x)=\arg \operatorname{tgh}(x) \cdot \operatorname{arcsen}(x)+\arg \operatorname{cotgh}(x) \cdot \arccos (x)+1
\
Conteúdo: regras de derivação de produto, derivadas de funções hiperbólicas e funções inversas trigonômétricas.

Passo 2

Para derivar, primeiro lembramos as derivadas elementares:
– Derivada de \(\arg \operatorname{tgh}(x)) é \(
\operatorname{sech}^2(x)
\
) porque \(
\tanh’(x)=1-\tanh2(x)=\sech2(x)
\
).
– Derivada de \(\arg \operatorname{cotgh}(x)) é \(
-\operatorname{csch}^2(x)
\
) pois \(
\coth’(x)=1-\coth2(x)=-\csch2(x)
\
).
– Derivada de \(\operatorname{arcsen}(x)) é \(
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\
).
– Derivada de \(\operatorname{arccos}(x)) é \(
-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\
).

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto em cada termo:
Para \(\arg \operatorname{tgh}(x)\cdot \operatorname{arcsen}(x)):
ddx [tgh(x),arcsen(x)] = sech^2(x),arcsen(x) + tgh(x),1raiz1-x^2
Para \(\arg \operatorname{cotgh}(x)\cdot \operatorname{arccos}(x)):
ddx [cotgh(x),arccos(x)] = -csch^2(x),arccos(x) + cotgh(x),l(-1raiz1-x^2r)

Passo 4

A derivada de 1 é 0. Somando tudo, obtemos a derivada final:

Passo 5

$$
j_{3}’(x) = \operatorname{sech}^2(x),\operatorname{arcsen}(x) + \operatorname{tgh}(x),\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \operatorname{csch}^2(x),\operatorname{arccos}(x) - \operatorname{cotgh}(x),\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
$$

Resposta

j_{3}’(x) = \operatorname{sech}^2(x),\operatorname{arcsen}(x) + \operatorname{tgh}(x),\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \operatorname{csch}^2(x),\operatorname{arccos}(x) - \operatorname{cotgh}(x),\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

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