Calcular as derivadas pelas regras de derivação.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de \(
j_{3}(x)=\arg \operatorname{tgh}(x) \cdot \operatorname{arcsen}(x)+\arg \operatorname{cotgh}(x) \cdot \arccos (x)+1
\
Conteúdo: regras de derivação de produto, derivadas de funções hiperbólicas e funções inversas trigonômétricas.
j_{3}(x)=\arg \operatorname{tgh}(x) \cdot \operatorname{arcsen}(x)+\arg \operatorname{cotgh}(x) \cdot \arccos (x)+1
\
Conteúdo: regras de derivação de produto, derivadas de funções hiperbólicas e funções inversas trigonômétricas.
Passo 2
Para derivar, primeiro lembramos as derivadas elementares:
– Derivada de \(\arg \operatorname{tgh}(x)) é \(
\operatorname{sech}^2(x)
\
) porque \(
\tanh’(x)=1-\tanh2(x)=\sech2(x)
\
).
\operatorname{sech}^2(x)
\
) porque \(
\tanh’(x)=1-\tanh2(x)=\sech2(x)
\
).
– Derivada de \(\arg \operatorname{cotgh}(x)) é \(
-\operatorname{csch}^2(x)
\
) pois \(
\coth’(x)=1-\coth2(x)=-\csch2(x)
\
).
-\operatorname{csch}^2(x)
\
) pois \(
\coth’(x)=1-\coth2(x)=-\csch2(x)
\
).
– Derivada de \(\operatorname{arcsen}(x)) é \(
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\
).
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\
).
– Derivada de \(\operatorname{arccos}(x)) é \(
-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\
).
-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\
).
Passo 3
Agora aplicamos a regra do produto em cada termo:
Para \(\arg \operatorname{tgh}(x)\cdot \operatorname{arcsen}(x)):
Para \(\arg \operatorname{cotgh}(x)\cdot \operatorname{arccos}(x)):
Passo 4
A derivada de 1 é 0. Somando tudo, obtemos a derivada final:
Passo 5
$$
j_{3}’(x) = \operatorname{sech}^2(x),\operatorname{arcsen}(x) + \operatorname{tgh}(x),\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \operatorname{csch}^2(x),\operatorname{arccos}(x) - \operatorname{cotgh}(x),\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
$$
j_{3}’(x) = \operatorname{sech}^2(x),\operatorname{arcsen}(x) + \operatorname{tgh}(x),\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \operatorname{csch}^2(x),\operatorname{arccos}(x) - \operatorname{cotgh}(x),\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
$$
Resposta
j_{3}’(x) = \operatorname{sech}^2(x),\operatorname{arcsen}(x) + \operatorname{tgh}(x),\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \operatorname{csch}^2(x),\operatorname{arccos}(x) - \operatorname{cotgh}(x),\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.