QUESTAO 4

4,00 pts
Um investidor éstá avaliando entre(3) aplicações ( X, Y e Z ) para decidir em quais delas ele irá colocar seu dinheiro. Os retomos esperados (em % a.a.) são de 12 %, 14 % e 18 %, respectivamente. Os desvios-padrão são de 7 %, 12 % e 22 %, respectivamente. A correlação entre X e Y é de 0,30 , entre X e Z é de 0,64 e entre Y e Z é de -0,25. Lambda ssumindo pesos de 50 % para o investimento X, 30 % para o investimento Y e 20 % para o investimento Z, qual será o retorno esperado e o risco da carteira (pelo desvio-padrão) formada por estes três investimentos (respostas em porcentagem, com duas casas decimais)?
Dica: antes de calcular o risco da carteira, é necessário determinar as três covariâncias entre os retornos dos’ ativos ( X e Y, X e Z, Y e Z ), já que apenas as correlações foram apresentadas.

Passo 1

O enunciado pede para montar uma carteira com três ativos X, Y e Z, com pesos 50%, 30% e 20%, e calcular o retorno esperado e o risco (desvio-padrão) dessa carteira. O conteúdo envolve média ponderada de retornos e cálculo de variância de portfólio usando covariâncias.

Passo 2

Para calcular o retorno esperado da carteira, usamos a fórmula da média ponderada:
Ep = wX EX + wY EY + wZ EZ
Substituindo:
Ep = 0,5 times 12% + 0,3 times 14% + 0,2 times 18% = 6% + 4,2% + 3,6% = 13,8%

Passo 3

Antes de montar a variância, calculamos as covariâncias a partir das correlações:
Cov(X,Y) = rhoXY,sigmaX,sigmaY = 0,30 times 7% times 12% = 0,00252
Cov(X,Z) = 0,64 times 7% times 22% = 0,009856
Cov(Y,Z) = -0,25 times 12% times 22% = -0,0066

Passo 4

A variância da carteira é dada por:
sigmap^2 = sumi sumj wi wj Cov(i,j)
Escrevendo todos os termos:
sigmap^2 = (0,5^2)(0,07^2) + (0,3^2)(0,12^2) + (0,2^2)(0,22^2) + 2(0,5times0,3)0,00252 + 2(0,5times0,2)0,009856 + 2(0,3times0,2)(-0,0066)
Calculando cada parcela e somando, obtemos
sigmap^2 = 0,0063922

Passo 5

Finalmente, o desvio-padrão da carteira é
sigmap = raiz0,0063922 approx 0,07996 = 7,996% approx 8,00%

Resposta

Retorno esperado = 13,80%; Risco (desvio-padrão) = 8,00%

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