Calcular as derivadas sucessivas da função y=sen x, até a ordem n=5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas sucessivas de até ordem n=5 da função y=sen x. O conteúdo aqui é derivação de senos e cossenos, e vamos precisar usar as regras básicas: d/dx sen x=cos x e d/dx cos x=–sen x.

Passo 2

Aplique a derivada pela primeira vez:
– Por teoria, temos
ddxl(sin xr)=cos x
Logo,
y'=cos x

Passo 3

Calcule a segunda derivada:
– Pegamos y’=cos x e derivamos de novo. Pela regra
d/dx cos x=–sen x, temos
y''=sin x

Passo 4

Calcule a terceira e quarta derivadas:
– Derivando y’’=–sen x, como d/dx sen x=cos x, obtemos
y'''=cos x
– Em seguida, derivando y’’’=–cos x, como d/dx cos x=–sen x, vem
y^(4)=sin x

Passo 5

Note o ciclo de período 4 e calcule a quinta derivada:
– Como as derivadas de sen x entram em ciclo de comprimento 4 (sen→cos→–sen→–cos→sen…), já sabemos que y^{(4)} recupera sen x.
– Portanto, y{(5)}=d/dx\bigl(y{(4)}\bigr)=d/dx\bigl(\sin x\bigr)=\cos x.

Passo 6

Resumindo, encontramos todas as derivadas até a quinta ordem.

Resposta

y’=cos x, y’’=–sen x, y’’’=–cos x, y^{(4)}=sen x, y^{(5)}=cos x

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