Calcular as derivadas sucessivas da função
, até a ordem
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas sucessivas de até ordem n=5 da função y=sen x. O conteúdo aqui é derivação de senos e cossenos, e vamos precisar usar as regras básicas: d/dx sen x=cos x e d/dx cos x=–sen x.
Passo 2
Aplique a derivada pela primeira vez:
– Por teoria, temos
– Por teoria, temos
Logo,
Passo 3
Calcule a segunda derivada:
– Pegamos y’=cos x e derivamos de novo. Pela regra
d/dx cos x=–sen x, temos
– Pegamos y’=cos x e derivamos de novo. Pela regra
d/dx cos x=–sen x, temos
Passo 4
Calcule a terceira e quarta derivadas:
– Derivando y’’=–sen x, como d/dx sen x=cos x, obtemos
– Derivando y’’=–sen x, como d/dx sen x=cos x, obtemos
– Em seguida, derivando y’’’=–cos x, como d/dx cos x=–sen x, vem
Passo 5
Note o ciclo de período 4 e calcule a quinta derivada:
– Como as derivadas de sen x entram em ciclo de comprimento 4 (sen→cos→–sen→–cos→sen…), já sabemos que y^{(4)} recupera sen x.
– Portanto, y{(5)}=d/dx\bigl(y{(4)}\bigr)=d/dx\bigl(\sin x\bigr)=\cos x.
– Como as derivadas de sen x entram em ciclo de comprimento 4 (sen→cos→–sen→–cos→sen…), já sabemos que y^{(4)} recupera sen x.
– Portanto, y{(5)}=d/dx\bigl(y{(4)}\bigr)=d/dx\bigl(\sin x\bigr)=\cos x.
Passo 6
Resumindo, encontramos todas as derivadas até a quinta ordem.
Resposta
y’=cos x, y’’=–sen x, y’’’=–cos x, y^{(4)}=sen x, y^{(5)}=cos x