Resolver a seguinte equação mista ( 4^circ caso):
d^2 yd x^2-2 d yd x=e^2 x+5.

Passo 1

A equação é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo dado por e^2x+5. Para resolver, precisamos achar a solução geral da parte homogênea (usando a equação característica) e depois uma solução particular para cada termo do lado direito (usando coeficientes a determinar).

Passo 2

A parte homogênea é
d^2ydx^2-2dydx=0
Montamos a equação característica:
r^2-2r=0Longrightarrow r(r-2)=0Rightarrow r=0,,2
Logo a solução geral homogênea é
yh = C1 + C2 e^2x,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 3

Agora vamos ao termo constante +5. Para o método dos coeficientes a determinar, quando a forçante é constante, tentamos uma solução particular do tipo yp1=Kx, pois se tentássemos K puro, a derivada seria zero e não conseguiríamos equilibrar o termo constante no LHS. Calculando:
d yp1dx=K, d^2yp1dx^2=0
Substituindo em y''-2y'=5:
0 -2K =5 Rightarrow K=-tfrac52
Então
yp1=-tfrac52x

Passo 4

Falta ainda a força e^2x. Como r=2 já é raiz da característica (multiplicidade 1), multiplicamos a tentativa usual por x. Assim tomamos
yp2=A x e^2x
Calculamos derivadas:
y'p2=A e^2x(1+2x), y''p2=4A e^2x(x+1)
Substituindo em y''-2y'=e^2x:
4A e^2x(x+1) -2A e^2x(1+2x) = e^2x
Simplificando dentro do colchete:
4A(x+1) -2A(1+2x) =2A =1 Rightarrow A=tfrac12
Logo
yp2=tfrac12 x e^2x

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma de yh com os particulares yp1 e yp2:
y(x)=C1 + C2 e^2x + tfrac12 x e^2x -tfrac52x

Resposta

y(x)=C_1 + C_2 e^{2x} + \tfrac12 x e^{2x} - \tfrac{5}{2}x

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