Resolver a seguinte equação mista (
caso):
.
Passo 1
A equação é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo dado por
. Para resolver, precisamos achar a solução geral da parte homogênea (usando a equação característica) e depois uma solução particular para cada termo do lado direito (usando coeficientes a determinar).
Passo 2
A parte homogênea é
Montamos a equação característica:
Logo a solução geral homogênea é
onde
e
são constantes de integração.
Passo 3
Agora vamos ao termo constante
. Para o método dos coeficientes a determinar, quando a forçante é constante, tentamos uma solução particular do tipo
, pois se tentássemos
puro, a derivada seria zero e não conseguiríamos equilibrar o termo constante no LHS. Calculando:
Substituindo em
:
Então
Passo 4
Falta ainda a força
. Como
já é raiz da característica (multiplicidade 1), multiplicamos a tentativa usual por
. Assim tomamos
Calculamos derivadas:
Substituindo em
:
Simplificando dentro do colchete:
Logo
Passo 5
A solução geral da equação completa é a soma de
com os particulares
e
:
Resposta
y(x)=C_1 + C_2 e^{2x} + \tfrac12 x e^{2x} - \tfrac{5}{2}x