Escrever a série de Taylor para a seguinte função e dar o intervalo de convergência:
f(x)=x^21-x em x0=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para escrever a série de Taylor da função centrada em e determinar o intervalo de convergência. Isso envolve entender um pouco sobre séries de Taylor e como expandir funções usando elas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a expansão em série de Taylor. Temos:
f(x) = x^21 - x

Passo 3

Sabemos que a série geométrica é uma ferramenta poderosa para expandir funções na forma , onde . Aqui, podemos identificar .

Passo 4

Aplicando a série geométrica à nossa função, temos:
11 - x = sumn=0^infty x^n para |x| < 1
Mas nossa função é f(x) = x^2 cdot 11 - x = x^2 cdot sumn=0^infty x^n = sumn=0^infty x^n+2 , então multiplicamos ambos os lados da série por :

Passo 5

Podemos simplificar a notação mudando o índice da soma. Vamos chamar f(x) = summ=2^infty x^m , então:
f(x) = sumn=0^infty x^n+2 = x^2 sumn=0^infty x^n
Mas para deixar em termos de começando de 0, ajustamos a soma:

Passo 6

Agora, determinamos o intervalo de convergência. Como utilizamos a série geométrica que converge para |x| < 1 , o intervalo de convergência da nossa série de Taylor é o mesmo:

Resposta

A série de Taylor de f(x) = sumn=0^infty x^n+2 centrada em é:
E o intervalo de convergência é .

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