Escrever a série de Taylor para a seguinte função e dar o intervalo de convergência:
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para escrever a série de Taylor da função
centrada em
e determinar o intervalo de convergência. Isso envolve entender um pouco sobre séries de Taylor e como expandir funções usando elas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a expansão em série de Taylor. Temos:
Passo 3
Sabemos que a série geométrica é uma ferramenta poderosa para expandir funções na forma
, onde
. Aqui, podemos identificar
.
Passo 4
Aplicando a série geométrica à nossa função, temos:
Mas nossa função é
, então multiplicamos ambos os lados da série por
:
Passo 5
Podemos simplificar a notação mudando o índice da soma. Vamos chamar
, então:
Mas para deixar em termos de
começando de 0, ajustamos a soma:
Passo 6
Agora, determinamos o intervalo de convergência. Como utilizamos a série geométrica que converge para
, o intervalo de convergência da nossa série de Taylor é o mesmo:
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
E o intervalo de convergência é
.