Decida se a seguinte sequência converge. Em caso afirmativo, calcule o limite.
[pi+(23)^n]^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente decidir se a sequência [pi+(23)^n]^3 converge, e se sim, qual é o limite dela. Vamos usar conceitos de sequences (sequências) e limites, que são fundamentais em cálculo. Precisamos entender como os termos da sequência se comportam conforme $ n $ cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte dentro dos colchetes: pi + (23)^n. Sabemos que pi é uma constante, cerca de 3,1416. Agora, vamos analisar (23)^n.

Passo 3

A expressão (23)^n é uma potência onde a base é 23, que é menor que 1. Quando elevamos um número menor que 1 a potências cada vez maiores, o resultado vai diminuindo e se aproximando de 0. Então, conforme $ n $ tende ao infinito, $\left(\frac{2}{3}\right)^{n} $ vai para 0.

Passo 4

Com isso, podemos simplificar a expressão dentro dos colchetes:
pi + (23)^n to pi + 0 = pi quando n to infty
Agora, elevamos esse resultado ao cubo:
[pi + (23)^n]^3 to pi^3 quando n to infty

Resposta

A sequência converge e o seu limite é $ \pi^{3} $.

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