Decida se a seguinte sequência converge. Em caso afirmativo, calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente decidir se a sequência
converge, e se sim, qual é o limite dela. Vamos usar conceitos de sequences (sequências) e limites, que são fundamentais em cálculo. Precisamos entender como os termos da sequência se comportam conforme $ n $ cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte dentro dos colchetes:
. Sabemos que
é uma constante, cerca de 3,1416. Agora, vamos analisar
.
Passo 3
A expressão
é uma potência onde a base é
, que é menor que 1. Quando elevamos um número menor que 1 a potências cada vez maiores, o resultado vai diminuindo e se aproximando de 0. Então, conforme $ n $ tende ao infinito, $\left(\frac{2}{3}\right)^{n} $ vai para 0.
Passo 4
Com isso, podemos simplificar a expressão dentro dos colchetes:
Agora, elevamos esse resultado ao cubo:
Resposta
A sequência converge e o seu limite é $ \pi^{3} $.