- Uma função potencial é dada por:
. Determine o campo de forças associado a este potencial.
Passo 1
O enunciado dá a função potencial
e pede para determinar o campo de forças associado a esse potencial. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): quando temos uma função potencial
associada a forças conservativas, o campo de forças
é dado pelo negativo do gradiente de
:
Aqui
(o gradiente) é o vetor que reúne as derivadas parciais de
em cada coordenada:
Explicando as derivadas parciais de forma bem prática:
é a derivada de
em relação a
tratando
e
como constantes; regras que vamos usar aqui:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (regra da cadeia). Em particular, . - Constantes (como
) derivam zero.
Agora vamos calcular cada derivada parcial aplicando essas regras.
Passo 3
Cálculo de
.
Partimos de
Derivando termo a termo em relação a
:
-
, pois é constante em relação a e a derivada de é . -
, usando a regra da cadeia. -
(não depende de ). -
.
Somando:
Passo 4
Cálculo de
.
Derivando termo a termo em relação a
:
-
. -
, pois é constante em relação a e a derivada de é . -
. -
.
Somando:
Passo 5
Cálculo de
.
Derivando termo a termo em relação a
:
-
. -
. -
, pois é constante em relação a e a derivada de é . -
.
Somando:
Passo 6
Formando o gradiente e o campo de forças. O gradiente é
Logo o campo de forças associado ao potencial, que é o negativo do gradiente, é