1. Uma função potencial é dada por: V(x, y, z)=x e^{-z}+y e^{-x}+z e^{-y}-\pi. Determine o campo de forças associado a este potencial.

Passo 1

O enunciado dá a função potencial
V(x,y,z)=x e^{-z}+y e^{-x}+z e^{-y}-\pi
e pede para determinar o campo de forças associado a esse potencial. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Dado: }V(x,y,z)=x e^{-z}+y e^{-x}+z e^{-y}-\pi.
\text{Pedido: encontrar o campo de forças associado a }V.ç

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): quando temos uma função potencial \,V(x,y,z)\, associada a forças conservativas, o campo de forças \mathbf{F} é dado pelo negativo do gradiente de V:
\mathbf{F} = -\nabla V.
Aqui \nabla V (o gradiente) é o vetor que reúne as derivadas parciais de V em cada coordenada:
\displaystyle \nabla V=\left(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y},\;\frac{\partial V}{\partial z}\right).
Explicando as derivadas parciais de forma bem prática: \frac{\partial V}{\partial x} é a derivada de V em relação a x tratando y e z como constantes; regras que vamos usar aqui:
  • Derivada de x em relação a x é 1.
  • Derivada de e^{u(x)} em relação a x é u'(x)e^{u(x)} (regra da cadeia). Em particular, \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.
  • Constantes (como \pi) derivam zero.
Agora vamos calcular cada derivada parcial aplicando essas regras.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial V}{\partial x}.
Partimos de
V(x,y,z)=x e^{-z}+y e^{-x}+z e^{-y}-\pi.
Derivando termo a termo em relação a x:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(x e^{-z}\big)=e^{-z}, pois e^{-z} é constante em relação a x e a derivada de x é 1.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(y e^{-x}\big)=y\cdot\frac{d}{dx}e^{-x}=y\cdot(-e^{-x})=-y e^{-x}, usando a regra da cadeia.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(z e^{-y}\big)=0 (não depende de x).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-\pi)=0.
Somando:
\displaystyle \frac{\partial V}{\partial x}=e^{-z}-y e^{-x}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial V}{\partial y}.
Derivando termo a termo em relação a y:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(x e^{-z}\big)=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(y e^{-x}\big)=e^{-x}, pois e^{-x} é constante em relação a y e a derivada de y é 1.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(z e^{-y}\big)=z\cdot\frac{d}{dy}e^{-y}=z\cdot(-e^{-y})=-z e^{-y}.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-\pi)=0.
Somando:
\displaystyle \frac{\partial V}{\partial y}=e^{-x}-z e^{-y}.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial V}{\partial z}.
Derivando termo a termo em relação a z:
  • \dfrac{\partial}{\partial z}\big(x e^{-z}\big)=x\cdot\frac{d}{dz}e^{-z}=x\cdot(-e^{-z})=-x e^{-z}.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}\big(y e^{-x}\big)=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}\big(z e^{-y}\big)=e^{-y}, pois e^{-y} é constante em relação a z e a derivada de z é 1.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(-\pi)=0.
Somando:
\displaystyle \frac{\partial V}{\partial z}=-x e^{-z}+e^{-y}.

Passo 6

Formando o gradiente e o campo de forças. O gradiente é
\displaystyle \nabla V=\left(e^{-z}-y e^{-x},\;e^{-x}-z e^{-y},\;-x e^{-z}+e^{-y}\right).
Logo o campo de forças associado ao potencial, que é o negativo do gradiente, é
\displaystyle \mathbf{F}=-\nabla V=\left(-e^{-z}+y e^{-x},\;-e^{-x}+z e^{-y},\;x e^{-z}-e^{-y}\right).

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}(x,y,z)=\big(-e^{-z}+y e^{-x},\;-e^{-x}+z e^{-y},\;x e^{-z}-e^{-y}\big).

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