Exercício 4. Um transformador de Potência S_{n}=225 \mathrm{kV} A está alimen-tando uma carga de P_{1}=80 \mathrm{~kW} com fator de potência igual 0,6 atrasado. Encontre:
(a) (1 ponto) O percentual de carga deste transformador, ou seja, a relação entre a potência aparente fornecida e a potência aparente nominal do trafo;
(b) (1 ponto) Quantos kW de carga de \mathrm{FP}=1 podem ser acrescidos sem colocar o transformador em sobrecarga?
(c) (1 ponto) Se a partir da situação inicial do transformador fosse necessário adicionar carga com ângulo de carga igual a 30^{\circ} atrasado. Quanto de potência aparente poderia ser acrescida sem que o transformador entrasse em sobrecarga.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (já vou pegar exatamente os números que o enunciado passou):
  • Potência aparente nominal do transformador: S_{n}=225\\ \mathrm{kVA}.
  • Carga conectada inicialmente: potência ativa P_{1}=80\\ \mathrm{kW} com fator de potência \mathrm{FP}=0{,}6 atrasado.
As perguntas são:
(a) Qual o percentual de carga do transformador, ou seja, \dfrac{S_{\text{fornecida}}}{S_{n}}\times 100\%?
(b) Quantos \mathrm{kW} de carga com \mathrm{FP}=1 podem ser acrescentados sem sobrecarregar o transformador?
(c) Se, a partir da situação inicial, for acrescentada carga cujo ângulo de carga é 30^\circ atrasado, qual a potência aparente (em \mathrm{kVA}) máxima que pode ser acrescentada sem sobrecarga?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho passo a passo):
  • Potência aparente complexa: \displaystyle S = P + jQ, onde P é a potência ativa (kW) e Q é a potência reativa (kVAr). A magnitude |S| (em kVA) é a quantidade usada para comparar com a capacidade do trafo:
|S|=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}.
  • Relação entre fator de potência, ângulo e componentes:
\mathrm{FP}=\cos\varphi,\qquad \sin\varphi=\sqrt{1-\cos^{2}\varphi},\qquad \tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}.
  • Para uma carga com potência ativa P e fator de potência \mathrm{FP}=\cos\varphi atrasado, a reativa é
Q = P\tan\varphi.
(Explicação rápida: \cos\varphi = P/|S| e \sin\varphi = Q/|S|; daí \tan\varphi=Q/P.)
Vou aplicar essas fórmulas ao caso inicial para obter Q_1 e S_1.

Passo 3

Calcular as quantidades da carga inicial.
  • Primeiro o ângulo \varphi. Como \mathrm{FP}=0{,}6,
\cos\varphi=0{,}6\quad\Rightarrow\quad \sin\varphi=\sqrt{1-0{,}6^{2}}=\sqrt{1-0{,}36}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8.
Logo
\tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{0{,}8}{0{,}6}=\frac{4}{3}\approx1{,}3333.
  • Potência reativa da carga inicial:
Q_{1}=P_{1}\tan\varphi=80\cdot\frac{4}{3}=\frac{320}{3}\\ \mathrm{kVAr}\approx106{,}6667\\ \mathrm{kVAr}.
  • Potência aparente fornecida pelo transformador a essa carga:
|S_{1}|=\sqrt{P_{1}^{2}+Q_{1}^{2}}=\sqrt{80^{2}+\Big(\frac{320}{3}\Big)^{2}}.
Calcule:
80^{2}=6400,\qquad \Big(\frac{320}{3}\Big)^{2}=\frac{102400}{9}\approx11377{,}7778,
|S_{1}|=\sqrt{6400+11377{,}7778}=\sqrt{17777{,}7778}=133{,}3333\\ \mathrm{kVA}.
(Observação: isso bate com a relação direta |S_1|=P_1/\mathrm{FP}=80/0{,}6=133{,}3333\\ \mathrm{kVA}.)
  • Percentual de carga do transformador:
\text{Percentual}=\frac{|S_{1}|}{S_{n}}\times100\%=\frac{133{,}3333}{225}\times100\%\approx59{,}259\%\approx59{,}26\%.

Passo 4

Resolver (b): quantos \mathrm{kW} de carga com \mathrm{FP}=1 (ou seja, só P, sem Q) podem ser acrescentados antes de atingir S_{n}.
Montagem do problema:
  • Potência complexa inicial: S_{1}=80+j\frac{320}{3}.
  • Se adicionar P_{\text{add}} em \mathrm{FP}=1, a potência adicional é S_{\text{add}}=P_{\text{add}}+j0.
  • Potência total: S_{\text{tot}}=(80+P_{\text{add}})+j\frac{320}{3}.
    Condição de não sobrecarga:
|S_{\text{tot}}|=\sqrt{(80+P_{\text{add}})^{2}+\Big(\frac{320}{3}\Big)^{2}}\le 225.
Resolver para P_{\text{add}} no limite de igualdade (valor máximo permitido):
(80+P_{\text{add}})^{2}=225^{2}-\Big(\frac{320}{3}\Big)^{2}.
Calcule os termos numéricos:
225^{2}=50625,\qquad \Big(\frac{320}{3}\Big)^{2}=\frac{102400}{9}\approx11377{,}7778,
(80+P_{\text{add}})^{2}=50625-11377{,}7778=39247{,}2222.
Extraindo raiz (considerando a raiz positiva porque queremos acrescentar potência):
80+P_{\text{add}}=\sqrt{39247{,}2222}\approx198{,}1122,
P_{\text{add}}^{\max}\approx198{,}1122-80=118{,}1122\\ \mathrm{kW}.
Arredondando razoavelmente: P_{\text{add}}^{\max}\approx118{,}11\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Interpretação rápida do resultado (parte b): podemos acrescentar cerca de 118{,}11\\ \mathrm{kW} com \mathrm{FP}=1 antes de atingir a capacidade aparente do trafo. Note que, embora esse acréscimo aumente muito a potência ativa, a reativa permanece a mesma, e é a combinação vetorial P+jQ que determina a sobrecarga.

Passo 6

Resolver (c): acrescentar carga com ângulo de carga igual a 30^\circ atrasado — pediram quanto de potência aparente (em kVA) pode ser acrescida sem sobrecarga.
Definição:
  • Seja X a magnitude da potência aparente adicionada (em kVA). Como a carga é 30^\circ atrasado, temos componentes:
S_{\text{add}}=X\big(\cos30^\circ + j\sin30^\circ\big).
Sabemos \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660254 e \sin30^\circ=\dfrac{1}{2}=0{,}5.
  • Potência total:
S_{\text{tot}}=\Big(80+X\cos30^\circ\Big)+j\Big(\frac{320}{3}+X\sin30^\circ\Big).
Condição de limite:
\Big(80+X\cos30^\circ\Big)^{2}+\Big(\frac{320}{3}+X\sin30^\circ\Big)^{2}=225^{2}.
Substituindo valores numéricos e simplificando (mostro passos):
  • \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin30^\circ=\dfrac{1}{2}.
  • Expansão e agrupamento (o coeficiente de X^{2} fica \cos^{2}30^\circ+\sin^{2}30^\circ =1, o que simplifica muito):
X^{2}+X\Big(160\cos30^\circ+\frac{320}{3}\Big)+\frac{160000}{9}-50625=0.
Valores numéricos:
160\cos30^\circ=160\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=80\sqrt{3}\approx138{,}5641,
160\cos30^\circ+\frac{320}{3}\approx138{,}5641+106{,}6667=245{,}2308.
Constante:
\frac{160000}{9}-50625=\frac{160000-455625}{9}=-\frac{295625}{9}\approx-32847{,}2222.
Portanto a equação quadrática é
X^{2}+245{,}2308\,X-32847{,}2222=0.
Resolver usando fórmula de Bhaskara (pegamos a raiz positiva, pois X é magnitude):
X=\frac{-245{,}2308+\sqrt{245{,}2308^{2}+4\cdot32847{,}2222}}{2}\approx96{,}18\\ \mathrm{kVA}.
(A outra raiz é negativa e não faz sentido físico aqui.)

Passo 7

Interpretação do resultado (parte c): ao acrescentar uma carga com ângulo 30^\circ atrasado (isto é, com \mathrm{FP}=\cos30^\circ\approx0{,}866 e comportamento reativo indutivo), a máxima potência aparente adicional que o transformador suporta antes de sobrecarga é cerca de 96{,}18\\ \mathrm{kVA}. Note que esse valor em kVA contém uma parte ativa X\cos30^\circ e uma parte reativa X\sin30^\circ; a presença de reativo reduz a quantidade de kVA que se pode adicionar em relação ao caso de \mathrm{FP}=1.

Resposta

(a) 59{,}26\%
(b) 118{,}11\\ \mathrm{kW}
(c) 96{,}18\\ \mathrm{kVA}

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