Calcular a diferencial das seguintes funções.
c) h(x)=4^x cdot raiz[4]x

Passo 1

O enunciado pede a diferencial da função
h(x)=4^xcdotraiz[4]x
ou seja, queremos encontrar dh. O conteúdo é aplicação da regra do produto, da regra da cadeia e da derivada de funções exponenciais e de potência.

Passo 2

Reescrevemos em forma mais conveniente:
raiz[4]x=x^1/4 e 4^x=e^xln4

Passo 3

Recordando as derivadas usadas:
– Derivada da exponencial com base 4:
ddx4^x=4^xln4
– Derivada da potência:
ddxx^1/4=tfrac14,x^-3/4

Passo 4

Aplicando a regra do produto d(ucdot v) = u',v,dx + u,v',dx, com
u=4^x e v=x^1/4, obtemos
dh = l(4^xln4r),x^1/4,dx +4^x!l(tfrac14,x^-3/4r),dx

Passo 5

Podemos fatorar 4^x x^-3/4 para simplificar:
dh =4^x x^-3/4l(x,ln4+tfrac14r)dx

Resposta

dh =l(4^x x^1/4ln4+tfrac14,4^x x^-3/4r)dx =4^x x^-3/4l(xln4+tfrac14r)dx

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