Mostre que o campo é conservativo e calcule o trabalho realizado sobre a curva .
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores
e a curva parametrizada , .
O objetivo é (1) mostrar que é conservativo, isto é, que existe uma função potencial com , e (2) calcular o trabalho
que, para campo conservativo, será .
Passo 2
Para mostrar que é conservativo, calculamos o rotacional e verificamos que é o vetor zero.
Componente i: partialy(-xy^2sin z)-partialz(2xycos z) = -2xysin z -(-2xysin z)=0
Componente j: partialz(y^2cos z)-partialx(-xy^2sin z) = -y^2sin z -(-y^2sin z)=0
Componente k: partialx(2xycos z)-partialy(y^2cos z) =2ycos z -2ycos z=0
Logo nablatimesF=0 em R^3, que é simplesmente conexo, e portanto F é conservativo.
Depois exigimos partial f/partial y = 2xycos z, o que força partial C/partial y=0, logo C=C(z).
Finalmente partial f/partial z = -x y^2sin z + C'(z) deve igualar -xy^2sin z, então C'(z)=0.
Podemos tomar C constante nula. Assim