Mostre que o campo F(x, y, z)=(y^2 cos z, 2 x y cos z,-x y^2 sin z) é conservativo e calcule o trabalho realizado sobre a curva r(t)=t^2 i+(sin t) j+t k, 0 <= t <= pi.

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
F(x,y,z) = l(y^2cos z,;2xycos z,;-xy^2sin zr)
e a curva parametrizada
r(t) = (t^2,,sin t,,t), 0<= t<=pi.
O objetivo é (1) mostrar que F é conservativo, isto é, que existe uma função potencial f com nabla f=F, e (2) calcular o trabalho
W = integral0^piFl(r(t)r)cdotr'(t),dt,
que, para campo conservativo, será fl(r(pi)r)-fl(r(0)r).

Passo 2

Para mostrar que F é conservativo, calculamos o rotacional nablatimesF e verificamos que é o vetor zero.
nablatimesF = i & j & k partialx & partialy & partialz y^2cos z & 2xycos z & -xy^2sin z
  • Componente i:
    partialy(-xy^2sin z)-partialz(2xycos z) = -2xysin z -(-2xysin z)=0
  • Componente j:
    partialz(y^2cos z)-partialx(-xy^2sin z) = -y^2sin z -(-y^2sin z)=0
  • Componente k:
    partialx(2xycos z)-partialy(y^2cos z) =2ycos z -2ycos z=0
    Logo nablatimesF=0 em R^3, que é simplesmente conexo, e portanto F é conservativo.

Passo 3

Buscamos f(x,y,z) tal que
partial fpartial x=y^2cos z, partial fpartial y=2xycos z, partial fpartial z=-xy^2sin z
Integrando partial f/partial x = y^2cos z em x,
f(x,y,z) = x,y^2cos z + C(y,z)
Depois exigimos partial f/partial y = 2xycos z, o que força partial C/partial y=0, logo C=C(z).
Finalmente partial f/partial z = -x y^2sin z + C'(z) deve igualar -xy^2sin z, então C'(z)=0.
Podemos tomar C constante nula. Assim
f(x,y,z) = x,y^2cos z
é uma função potencial de F.

Passo 4

Para um campo conservativo, o trabalho é
W = fl(r(pi)r) - fl(r(0)r)
Temos r(0)=(0,0,0), então
fl(r(0)r) =0cdot0^2cos0 = 0
E r(pi)=(pi^2,0,pi), então
fl(r(pi)r) =pi^2cdot0^2cospi = 0
Logo
W = 0 - 0 = 0

Resposta

O campo é conservativo e o trabalho vale 0.

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