Estude a convergência das seguintes integrais:
integral0^infty d xx^2(1+e^x)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral0^inftydxx^2l(1+e^xr)
Precisamos analisar separadamente o comportamento em xto0^+ (singularidade no limite inferior) e em xtoinfty.

Passo 2

Comportamento em xto0^+. Para x pequeno temos
e^x=1+x+O(x^2) Longrightarrow 1+e^x=2+O(x),
então
1x^2l(1+e^xr) sim12x^2
Mas
integral0^adxx^2 =[-x^-1]0^a to+infty quando ato0^+,
logo a integral diverge próximo a 0.

Passo 3

Comportamento em xtoinfty. Para x grande temos e^xgg1, logo
1+e^xsim e^x Longrightarrow 1x^2(1+e^x)sime^-xx^2
Sabemos que
integralb^inftye^-xx^2,dx
converge (por comparação com integralb^inftye^-x/2dx), ou seja, não há divergência no infinito.

Resposta

A integral é divergente, pois apresenta singularidade não integrável em x=0.

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