Estude a convergência das seguintes integrais:
integral1^infty (x+1)raizx^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral1^infty x+1raizx^3,dx
O conteúdo envolve integrais impróprias em intervalo infinito e podemos usar o teste da integral-p (p-test) ou decompor o integrando em potências de x.

Passo 2

Vamos simplificar o integrando escrevendo
x+1raizx^3 =xx^3/2+1x^3/2 =x^-1/2+x^-3/2

Passo 3

Analisamos separadamente as integrais
integral1^inftyx^-1/2,dx e integral1^inftyx^-3/2,dx
Pelo critério da integral- p, integral1^inftyx^-p,dx converge se, e só se, p>1.
Aqui, para x^-1/2 temos p=tfrac12<=1, então
integral1^inftyx^-1/2,dx
diverge.
Embora integral1^inftyx^-3/2,dx (com p=tfrac32>1) converja, a soma de um termo divergente com outro convergente ainda diverge.

Resposta

A integral
integral1^infty x+1raizx^3,dx
é divergente.

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