Calcular a distância entre as duas retas:
r1:lx=2-t y=3+2 t z=2-2 t r2:ly=x-2 z=-x+3

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço:
r1colon x=2-t,;y=3+2t,;z=2-2t e
r2 definida por
y=x-2,;z=-x+3.
Queremos a distância entre essas retas, que não se intersectam nem são paralelas (retas “skew”). Para isso usamos o produto vetorial dos vetores diretores e a fórmula da distância entre retas skew.

Passo 2

Primeiro escrevemos r2 em forma paramétrica. Seja sigma o parâmetro, tomamos
x=sigma, y=sigma-2, z=-sigma+3
Assim os vetores diretores são
vec v1=(-1,2,-2)e vec v2=(1,1,-1)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial vec v1times vec v2:
vec v1times vec v2 = i & j & k -1 & 2 & -2 1 & 1 & -1 = (0,-3,-3)
E o módulo desse vetor é
|vec v1times vec v2| =raiz0^2+(-3)^2+(-3)^2 =3raiz2

Passo 4

Escolhemos um ponto em cada reta: em r1 com t=0 temos
vec P1=(2,3,2), e em r2 com sigma=0 temos
vec P2=(0,-2,3).
O vetor que liga esses pontos é
vec P1P2=vec P2-vec P1=(-2,-5,1)

Passo 5

A distância entre retas skew é
d =l|vec P1P2cdot(vec v1times vec v2)r| |vec v1times vec v2| =|(-2,-5,1)cdot(0,-3,-3)|3raiz2 =|0+15-3|3raiz2 =123raiz2 =2raiz2

Resposta

2raiz2

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