Calcular a distância do ponto P(4,2,1) à reta:
r:l x=1-2 t y=3+t z=6-2 t

Passo 1

O enunciado pede a distância de um ponto P(4,2,1) a uma reta r em R^3. O conteúdo necessário é a fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço, que usa produto vetorial:
d = lVert (P - A)times vrVertlVert vrVert,
onde A é um ponto qualquer da reta e v é o vetor diretor de r.

Passo 2

Escolhemos t=0 para achar um ponto A na reta. Assim,
A = (1-2cdot0,;3+0,;6-2cdot0) = (1,3,6)
O vetor diretor de r é
v=(-2,,1,,-2)

Passo 3

Calculamos o vetor AP = P - A:
P - A = (4-1,;2-3,;1-6) = (3,,-1,,-5)

Passo 4

Calculamos o produto vetorial (P-A)times v usando o determinante:
(P-A)times v = det i & j & k 3 & -1 & -5 -2 & 1 & -2 = (7,,16,,1)

Passo 5

Agora, calculamos as normas:
lVert (P-A)times vrVert =raiz7^2+16^2+1^2 =raiz306 =3raiz34,
lVert vrVert =raiz(-2)^2+1^2+(-2)^2 =raiz9 =3
Aplicando a fórmula da distância:
d = 3raiz343 = raiz34

Resposta

raiz34

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