Calcular a distância do ponto
ao plano
;
ao plano
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Ponto dado:
. Ou seja, , , . - Plano indicado: plano
. Isso significa que todos os pontos do plano têm coordenada . - Pergunta: calcular a distância do ponto
ao plano .
Passo 2
Fórmula geral usada e o que cada símbolo significa.
A fórmula para a distância de um ponto
ao plano dado por
é
Explicando:
-
são os coeficientes que definem a direção normal ao plano (o vetor normal é ); -
é a constante do plano; -
são as coordenadas do ponto cuja distância ao plano se quer calcular; - o numerador é o valor absoluto do produto escalar entre o vetor normal e o vetor posição do ponto mais a constante
; - o denominador é o comprimento do vetor normal. Geometricamente isso dá a projeção perpendicular do ponto sobre o plano.
Passo 3
Escrever a equação do plano
.
O plano
é o conjunto de pontos com
. Podemos escrever isso como
ou seja,
,
,
,
.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao ponto
.
Substituindo
e
na fórmula:
Passo 5
Interpretação geométrica alternativa (checa e ajuda a fixar a ideia).
O vetor normal ao plano
é
, ou seja, é paralelo ao eixo
. A projeção ortogonal de
sobre o plano
é obtida zerando a coordenada
: o pé da perpendicular é
. A distância
é
confirmando o resultado anterior.