Calcular a distância do ponto \mathrm{A}(3,4,-2)
ao plano x z;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Ponto dado: A(3,4,-2). Ou seja, x_0=3, y_0=4, z_0=-2.
  • Plano indicado: plano xz. Isso significa que todos os pontos do plano têm coordenada y=0.
  • Pergunta: calcular a distância do ponto A ao plano xz.

Passo 2

Fórmula geral usada e o que cada símbolo significa.
A fórmula para a distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano dado por
ax+by+cz+d=0
é
\text{dist}=\frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Explicando:
  • a,b,c são os coeficientes que definem a direção normal ao plano (o vetor normal é (a,b,c));
  • d é a constante do plano;
  • x_0,y_0,z_0 são as coordenadas do ponto cuja distância ao plano se quer calcular;
  • o numerador é o valor absoluto do produto escalar entre o vetor normal e o vetor posição do ponto mais a constante d;
  • o denominador é o comprimento do vetor normal. Geometricamente isso dá a projeção perpendicular do ponto sobre o plano.

Passo 3

Escrever a equação do plano xz.
O plano xz é o conjunto de pontos com y=0. Podemos escrever isso como
0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z + 0 = 0,
ou seja, a=0, b=1, c=0, d=0.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao ponto A(3,4,-2).
Substituindo a,b,c,d e x_0,y_0,z_0 na fórmula:
\text{dist}=\frac{|0\cdot 3 + 1\cdot 4 + 0\cdot(-2) + 0|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\frac{|4|}{1}=4.

Passo 5

Interpretação geométrica alternativa (checa e ajuda a fixar a ideia).
O vetor normal ao plano xz é (0,1,0), ou seja, é paralelo ao eixo y. A projeção ortogonal de A sobre o plano xz é obtida zerando a coordenada y: o pé da perpendicular é P(3,0,-2). A distância AP é
\sqrt{(3-3)^2+(4-0)^2+(-2-(-2))^2}=\sqrt{0+16+0}=4,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

4

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