Construir o cubo constituído dos pontos (\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}), de modo que
-4 \leq \mathrm{x} \leq-2,1 \leq \mathrm{y} \leq 3 e 0 \leq \mathrm{z} \leq 2

Passo 1

O enunciado dá os intervalos para as coordenadas (x,y,z) e pede para “construir o cubo” formado por esses pontos. Informações fornecidas:
  • Intervalo para x: -4 \leq x \leq -2.
  • Intervalo para y: 1 \leq y \leq 3.
  • Intervalo para z: 0 \leq z \leq 2.
O que precisa ser apresentado (o que entendo por “construir o cubo”): descrever o conjunto de pontos que forma o cubo, listar os vértices, indicar o centro, a aresta, as diagonais, o volume, a área total e as equações das faces. Vou seguir passo a passo para deixar tudo bem explícito.

Passo 2

Calcular o comprimento de cada intervalo (comprimento das arestas projetadas nos eixos).
Para um intervalo [a,b] o comprimento é b-a. Aplicando aos três eixos:
\text{aresta em }x: -2-(-4)=2, \qquad \text{aresta em }y: 3-1=2, \qquad \text{aresta em }z: 2-0=2.
Portanto todos os comprimentos são iguais a 2. Isso já indica que a forma é um cubo (três arestas adjacentes iguais e mutuamente ortogonais).

Passo 3

Definição rápida usada: um cubo é o conjunto de pontos no espaço delimitado por três pares de planos paralelos perpendiculares entre si, com o mesmo comprimento de aresta. Aqui temos exatamente isso, porque as três direções têm comprimento 2 cada.

Passo 4

Encontrar os vértices: os vértices são todas as combinações das extremidades dos intervalos. Ou seja, escolher para cada coordenada um extremo:
x\in\{-4,-2\},\quad y\in\{1,3\},\quad z\in\{0,2\}.
Listando os oito vértices (cada um é uma tripla (x,y,z)):
(-4,1,0),\; (-4,1,2),\; (-4,3,0),\; (-4,3,2),\; (-2,1,0),\; (-2,1,2),\; (-2,3,0),\; (-2,3,2).
Essa listagem cobre todas as combinações dos extremos.

Passo 5

Centro do cubo: o centro é o ponto médio entre quaisquer dois vértices opostos (diagonais espaciais). A fórmula do ponto médio em 3D entre (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) é
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right).
Tomando os vértices opostos (-4,1,0) e (-2,3,2) (qualquer par oposto serve),
\text{centro}=\left(\frac{-4+(-2)}{2},\frac{1+3}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(-3,2,1).

Passo 6

Comprimentos importantes e fórmulas usadas:
  • Comprimento da aresta: já vimos que é 2.
  • Diagonal de uma face: em um quadrado de lado a a diagonal vale a\sqrt{2}. Aqui a=2, então diagonal de face =2\sqrt{2}.
  • Diagonal espacial (entre vértices opostos do cubo): usando a fórmula da distância em 3D
\text{dist}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Para extremos (-4,1,0) e (-2,3,2):
\text{diagonal espacial}=\sqrt{(2)^2+(2)^2+(2)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.

Passo 7

Volume e área total (fórmulas e cálculo):
  • Volume de um cubo de aresta a: V=a^3. Aqui a=2, então
V=2^3=8.
  • Área total de um cubo: A=6a^2. Então
A=6\cdot 2^2=6\cdot 4=24.

Passo 8

Equações dos planos que formam as faces (cada face é dada por fixar uma coordenada num extremo):
x=-4,\quad x=-2,\quad y=1,\quad y=3,\quad z=0,\quad z=2.
Também a descrição do cubo em notação de conjunto é simplesmente:
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid -4\le x\le -2,\; 1\le y\le 3,\; 0\le z\le 2\}.

Passo 9

Como desenhar rápido (dica prática para prova): desenhe um paralelepípedo isométrico com aresta correspondente a 2 unidades; marque os pontos x=-4 (lado “esquerdo”) e x=-2 (lado “direito”), y=1 (parte inferior) e y=3 (parte superior), z=0 (plano de base) e z=2 (plano superior). Ligue as combinações dos extremos para obter os vértices listados. Não precisa ser perfeito: o importante é identificar corretamente as coordenadas dos vértices e rotular as faces por suas equações.

Resposta

Conjunto do cubo: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid -4\le x\le -2,\; 1\le y\le 3,\; 0\le z\le 2\}
Vértices:
(-4,1,0),\; (-4,1,2),\; (-4,3,0),\; (-4,3,2),\; (-2,1,0),\; (-2,1,2),\; (-2,3,0),\; (-2,3,2)
Centro: (-3,2,1)
Aresta: 2
Diagonal de face: 2\sqrt{2}
Diagonal espacial: 2\sqrt{3}
Volume: 8
Área total: 24
Equações das faces: x=-4,\; x=-2,\; y=1,\; y=3,\; z=0,\; z=2

Exercícios relacionados