Construir o cubo constituído dos pontos
, de modo que
e
Passo 1
O enunciado dá os intervalos para as coordenadas
e pede para “construir o cubo” formado por esses pontos. Informações fornecidas:
- Intervalo para
: . - Intervalo para
: . - Intervalo para
: .
O que precisa ser apresentado (o que entendo por “construir o cubo”): descrever o conjunto de pontos que forma o cubo, listar os vértices, indicar o centro, a aresta, as diagonais, o volume, a área total e as equações das faces. Vou seguir passo a passo para deixar tudo bem explícito.
Passo 2
Calcular o comprimento de cada intervalo (comprimento das arestas projetadas nos eixos).
Para um intervalo o comprimento é
. Aplicando aos três eixos:
Para um intervalo
Portanto todos os comprimentos são iguais a
. Isso já indica que a forma é um cubo (três arestas adjacentes iguais e mutuamente ortogonais).
Passo 3
Definição rápida usada: um cubo é o conjunto de pontos no espaço delimitado por três pares de planos paralelos perpendiculares entre si, com o mesmo comprimento de aresta. Aqui temos exatamente isso, porque as três direções têm comprimento
cada.
Passo 4
Encontrar os vértices: os vértices são todas as combinações das extremidades dos intervalos. Ou seja, escolher para cada coordenada um extremo:
Listando os oito vértices (cada um é uma tripla
):
Essa listagem cobre todas as combinações dos extremos.
Passo 5
Centro do cubo: o centro é o ponto médio entre quaisquer dois vértices opostos (diagonais espaciais). A fórmula do ponto médio em 3D entre
e
é
Tomando os vértices opostos
e
(qualquer par oposto serve),
Passo 6
Comprimentos importantes e fórmulas usadas:
- Comprimento da aresta: já vimos que é
. - Diagonal de uma face: em um quadrado de lado
a diagonal vale . Aqui , então diagonal de face . - Diagonal espacial (entre vértices opostos do cubo): usando a fórmula da distância em 3D
Para extremos
e
:
Passo 7
Volume e área total (fórmulas e cálculo):
- Volume de um cubo de aresta
: . Aqui , então
- Área total de um cubo:
. Então
Passo 8
Equações dos planos que formam as faces (cada face é dada por fixar uma coordenada num extremo):
Também a descrição do cubo em notação de conjunto é simplesmente:
Passo 9
Como desenhar rápido (dica prática para prova): desenhe um paralelepípedo isométrico com aresta correspondente a
unidades; marque os pontos
(lado “esquerdo”) e
(lado “direito”),
(parte inferior) e
(parte superior),
(plano de base) e
(plano superior). Ligue as combinações dos extremos para obter os vértices listados. Não precisa ser perfeito: o importante é identificar corretamente as coordenadas dos vértices e rotular as faces por suas equações.
Resposta
Conjunto do cubo:
Vértices:
Centro:
Aresta:
Diagonal de face:
Diagonal espacial:
Volume:
Área total:
Equações das faces: