Calcular a distância do ponto \mathrm{A}(3,4,-2)
ao plano x y;
Passo 1
O enunciado dá o ponto \mathrm{A}(3,4,-2) e pede a distância desse ponto ao plano x y.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Ponto: \mathrm{A}=(3,4,-2).
Plano: x y, que é o plano onde a coordenada z vale zero (ou seja, o plano cuja equação é \,z=0\,).
A pergunta que vamos responder: qual é a distância do ponto \mathrm{A} até o plano \,z=0?
Passo 2
Intuição geométrica (sem calcular ainda): a distância de um ponto a um plano é o comprimento do segmento mais curto que liga o ponto ao plano, isto é, a distância medida ao longo da perpendicular do plano. Para formalizar isso precisamos de uma normal ao plano (um vetor perpendicular ao plano). Essa normal nos permite projetar a posição do ponto sobre a direção perpendicular e obter a distância.
Passo 3
Fórmula geral e derivação curta e didática.
Equação geral de um plano: \,a x + b y + c z + d = 0\,. Aqui a,b,c,d são constantes que definem o plano.
Normal do plano: \mathbf{n} = (a,b,c). Esse vetor é perpendicular ao plano.
Seja P_0=(x_0,y_0,z_0) o ponto dado. Pegue qualquer ponto Q do plano (qualquer escolha serve). O vetor \overrightarrow{Q P_0} projetado na direção da normal dá a distância assinada entre P_0 e o plano; tomando o valor absoluto obtemos a distância positiva.
Fórmula resultante (muito usada e útil na prova):
\text{distância} = \frac{\left|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.â
Explicando cada símbolo:
a,b,c,d são os coeficientes da equação do plano \,a x + b y + c z + d = 0.
x_0,y_0,z_0 são as coordenadas do ponto P_0.
O numerador \left|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\right| é o valor absoluto do produto escalar entre \mathbf{n} e o vetor posição relativo (ou, equivalentemente, é a substituição do ponto na equação do plano).
O denominador \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} é a norma (comprimento) do vetor normal \mathbf{n}. Dividindo pelo comprimento da normal obtemos a projeção na direção unitária normal, isto é, o comprimento real da perpendicular.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso.
O plano x y tem equação \,z=0\,. Escrevendo na forma a x + b y + c z + d = 0 obtemos 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z + 0 = 0. Portanto:a=0,\quad b=0,\quad c=1,\quad d=0.
Verificação intuitiva e exemplo extra (para fixar a ideia): como o plano x y é horizontal (z=0), a distância vertical do ponto ao plano é simplesmente o valor absoluto da coordenada z. Aqui z_0=-2, então a distância é |-2|=2. Exemplo adicional: para P=(1,2,5) a distância ao plano x y seria |5|=5.