Calcular a distancia da reta r:\left\{\begin{array}{l}y=2 x+3 \\\ z=2 x+1\end{array}\right. ao plano \pi: 4 x-4 y+2 z-7=0

Passo 1

O enunciado dá uma reta r por duas equações e um plano \pi por uma equação, e pede a distância entre a reta e o plano. Dados fornecidos:
  • Reta r definida por
y=2x+3, \qquad z=2x+1.
  • Plano \pi definido por
4x-4y+2z-7=0.
O que se pede: calcular a distância entre a reta r e o plano \pi.

Passo 2

Passo inicial prático: escrever a reta em forma paramétrica e identificar um ponto que pertence a ela e o vetor diretor.
Escolho o parâmetro t igual a x. Então
x=t,\qquad y=2t+3,\qquad z=2t+1.
Em forma vetorial:
\mathbf{r}(t)=(t,\,2t+3,\,2t+1)=(0,3,1)+t(1,2,2).
Daí extraio:
  • Um ponto da reta: P_0=(0,3,1).
  • O vetor diretor da reta: \mathbf{v}=(1,2,2).

Passo 3

Identificar o vetor normal do plano \pi. Para o plano dado na forma 4x-4y+2z-7=0, o vetor normal é formado pelos coeficientes de x,y,z:
\mathbf{n}=(4,-4,2).

Passo 4

Decidir se a reta é paralela ao plano ou se o faz intersecta: calcular o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o normal do plano.
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}= (1,2,2)\cdot(4,-4,2)=1\cdot4+2\cdot(-4)+2\cdot2.
Calculemos passo a passo:
1\cdot4=4,\qquad 2\cdot(-4)=-8,\qquad 2\cdot2=4,
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\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=4-8+4=0.
Interpretação: se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\neq0 a reta cruza o plano (distância zero). Como \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0, a reta é paralela ao plano e não o intersecta. Portanto a distância é positiva e igual à distância de qualquer ponto da reta até o plano (a distância é a mesma para todo ponto da reta porque a reta é paralela ao plano).

Passo 5

Fórmula que vamos usar (explicação didática): a distância de um ponto P=(x_0,y_0,z_0) ao plano dado por ax+by+cz+d=0 é
\text{dist}(P,\pi)=\frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\bigr|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Por que isso vale? O vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) aponta perpendicularmente ao plano. A quantidade a x_0 + b y_0 + c z_0 + d é exatamente o produto escalar entre \mathbf{n} e o vetor que vai de um ponto qualquer do plano até P; dividindo pelo comprimento de \mathbf{n} obtemos a componente ortogonal (projeção) desse vetor, cuja magnitude é a distância mínima. Tomando valor absoluto garantimos que a distância seja positiva.
Como a reta é paralela, basta aplicar essa fórmula ao ponto P_0=(0,3,1) que já identificámos.

Passo 6

Avaliar o numerador da fórmula: calcular 4x_0-4y_0+2z_0-7 em P_0=(0,3,1).
4\cdot 0 -4\cdot 3 +2\cdot 1 -7 = 0 -12 +2 -7.
Somando:
0-12=-12,\qquad -12+2=-10,\qquad -10-7=-17.
Portanto o valor é -17 e o numerador em módulo é |-17|=17.

Passo 7

Calcular o denominador: norma do vetor normal \mathbf{n}=(4,-4,2).
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{4^2 + (-4)^2 + 2^2}=\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}=6.

Passo 8

Aplicar a fórmula da distância:
\text{dist}(r,\pi)=\frac{17}{6}.

Resposta

\dfrac{17}{6}

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