Interpretação: se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\neq0 a reta cruza o plano (distância zero). Como \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0, a reta é paralela ao plano e não o intersecta. Portanto a distância é positiva e igual à distância de qualquer ponto da reta até o plano (a distância é a mesma para todo ponto da reta porque a reta é paralela ao plano).
Passo 5
Fórmula que vamos usar (explicação didática): a distância de um ponto P=(x_0,y_0,z_0) ao plano dado por ax+by+cz+d=0 é
\text{dist}(P,\pi)=\frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\bigr|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Por que isso vale? O vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) aponta perpendicularmente ao plano. A quantidade a x_0 + b y_0 + c z_0 + d é exatamente o produto escalar entre \mathbf{n} e o vetor que vai de um ponto qualquer do plano até P; dividindo pelo comprimento de \mathbf{n} obtemos a componente ortogonal (projeção) desse vetor, cuja magnitude é a distância mínima. Tomando valor absoluto garantimos que a distância seja positiva.
Como a reta é paralela, basta aplicar essa fórmula ao ponto P_0=(0,3,1) que já identificámos.
Passo 6
Avaliar o numerador da fórmula: calcular 4x_0-4y_0+2z_0-7 em P_0=(0,3,1).
4\cdot 0 -4\cdot 3 +2\cdot 1 -7 = 0 -12 +2 -7.
Somando:
0-12=-12,\qquad -12+2=-10,\qquad -10-7=-17.
Portanto o valor é -17 e o numerador em módulo é |-17|=17.
Passo 7
Calcular o denominador: norma do vetor normal \mathbf{n}=(4,-4,2).