Determinar o ângulo entre os seguintes planos
\pi_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=1+h-t \\ y=h+2 t \\ z=h \end{array} \quad \text { e } \pi_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\ y=-2 h \\ z=h+t \end{array}\right.\right.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dois planos em forma paramétrica, com parâmetros h\) e \(t\): \[\pi_{1}:\begin{cases} x=1+h-t,\\[4pt] y=h+2t,\\[4pt] z=h, \end{cases} \qquad \pi_{2}:\begin{cases} x=2+t,\\[4pt] y=-2h,\\[4pt] z=h+t. \end{cases}
  • O que é pedido: determinar o ângulo entre \pi_{1}\] e \(\pi_{2}.]

Passo 2

Como extrair vetores diretores a partir da forma paramétrica (sem resolver ainda).
  • Uma representação paramétrica do tipo
(x,y,z)= (x_0,y_0,z_0)+h\,\mathbf{u}+t\,\mathbf{v}
mostra explicitamente dois vetores diretores \mathbf{u} e \mathbf{v} que geram o plano (são vetores paralelos ao plano). Vou extrair esses vetores para cada plano lendo os coeficientes de h e t.
  • Para \pi_{1}: os coeficientes de h e t nas coordenadas dão
\mathbf{u}_{1}=(1,1,1),\qquad \mathbf{v}_{1}=(-1,2,0).
  • Para \pi_{2}: os coeficientes de h e t dão
\mathbf{u}_{2}=(0,-2,1),\qquad \mathbf{v}_{2}=(1,0,1).

Passo 3

Como obter um vetor normal ao plano usando produto vetorial (cruz).
  • Lembrete do produto vetorial: para dois vetores \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) e \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z), o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é o vetor perpendicular aos dois, com componentes
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_y b_z-a_z b_y,\;a_z b_x-a_x b_z,\;a_x b_y-a_y b_x\bigr).
  • Vou calcular uma normal \mathbf{n}_1 para \pi_{1} como \mathbf{n}_1=\mathbf{u}_1\times\mathbf{v}_1. Usando \mathbf{u}_1=(1,1,1) e \mathbf{v}_1=(-1,2,0):
\begin{aligned} (\mathbf{u}_1\times\mathbf{v}_1)_x &= 1\cdot 0 - 1\cdot 2 = -2,\\[4pt] (\mathbf{u}_1\times\mathbf{v}_1)_y &= 1\cdot (-1) - 1\cdot 0 = -1,\\[4pt] (\mathbf{u}_1\times\mathbf{v}_1)_z &= 1\cdot 2 - 1\cdot (-1) = 3. \end{aligned}
Logo
\mathbf{n}_1 = (-2,-1,3).]

Passo 4

Calcular a normal \mathbf{n}_2 do segundo plano do mesmo modo.
  • Para \pi_{2}, com \mathbf{u}_2=(0,-2,1) e \mathbf{v}_2=(1,0,1):
\begin{aligned} (\mathbf{u}_2\times\mathbf{v}_2)_x &= (-2)\cdot 1 - 1\cdot 0 = -2,\\[4pt] (\mathbf{u}_2\times\mathbf{v}_2)_y &= 1\cdot 1 - 0\cdot 1 = 1,\\[4pt] (\mathbf{u}_2\times\mathbf{v}_2)_z &= 0\cdot 0 - (-2)\cdot 1 = 2. \end{aligned}
Portanto
\mathbf{n}_2 = (-2,1,2).]

Passo 5

Como obter o ângulo entre planos a partir das normais.
  • O ângulo \theta entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais. Para dois vetores \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2, vale a fórmula do produto escalar:
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=\|\mathbf{n}_1\|\,\|\mathbf{n}_2\|\cos\theta,
onde \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 é o produto escalar e \|\cdot\| o comprimento (norma) do vetor. O produto escalar de \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) e \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z) é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z,
e a norma é
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}+a_z^{2}}.

Passo 6

Calcular produto escalar, normas e \cos\theta.
  • Produto escalar:
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = (-2)(-2)+(-1)(1)+3\cdot 2 = 4-1+6=9.
  • Normas:
\|\mathbf{n}_1\|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14},
\|\mathbf{n}_2\|=\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
  • Portanto
\cos\theta=\frac{\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2}{\|\mathbf{n}_1\|\,\|\mathbf{n}_2\|} =\frac{9}{3\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{14}}.

Passo 7

Determinar \theta (valor exato e aproximação).
  • O ângulo é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right).
  • Aproximação numérica: \dfrac{3}{\sqrt{14}}\approx 0{,}8017837, logo
\theta\approx 0{,}639\\ \text{rad}\approx 36{,}6^\circ.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{3}{\sqrt{14}}\right)\approx 0{,}639\\ \text{rad}\approx 36{,}6^\circ

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