\pi_{1}:\left\{\begin{array}{l}
x=1+h-t \\
y=h+2 t \\
z=h
\end{array} \quad \text { e } \pi_{2}:\left\{\begin{array}{l}
x=2+t \\
y=-2 h \\
z=h+t
\end{array}\right.\right.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Dois planos em forma paramétrica, com parâmetros h\) e \(t\):
\[\pi_{1}:\begin{cases} x=1+h-t,\\[4pt] y=h+2t,\\[4pt] z=h, \end{cases} \qquad \pi_{2}:\begin{cases} x=2+t,\\[4pt] y=-2h,\\[4pt] z=h+t. \end{cases}
O que é pedido: determinar o ângulo entre \pi_{1}\] e \(\pi_{2}.]
Passo 2
Como extrair vetores diretores a partir da forma paramétrica (sem resolver ainda).
mostra explicitamente dois vetores diretores \mathbf{u} e \mathbf{v} que geram o plano (são vetores paralelos ao plano). Vou extrair esses vetores para cada plano lendo os coeficientes de h e t.
Para \pi_{1}: os coeficientes de h e t nas coordenadas dão
Como obter um vetor normal ao plano usando produto vetorial (cruz).
Lembrete do produto vetorial: para dois vetores \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) e \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z), o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é o vetor perpendicular aos dois, com componentes
Vou calcular uma normal \mathbf{n}_1 para \pi_{1} como \mathbf{n}_1=\mathbf{u}_1\times\mathbf{v}_1. Usando \mathbf{u}_1=(1,1,1) e \mathbf{v}_1=(-1,2,0):
Como obter o ângulo entre planos a partir das normais.
O ângulo \theta entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais. Para dois vetores \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2, vale a fórmula do produto escalar:
onde \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 é o produto escalar e \|\cdot\| o comprimento (norma) do vetor. O produto escalar de \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) e \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z) é