Explicação didática: aqui a forma é \mathbf{r}=\mathbf{r_0}+t\mathbf{v}+h\mathbf{w}.
\mathbf{r_0}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]3\end{pmatrix} é um ponto do plano (obtido tomando t=0,h=0).
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix} e \mathbf{w}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix} são dois vetores diretores do plano (coeficientes de t e h).
No exame, esse é o passo padrão: identificar um ponto e dois vetores diretores a partir das expressões paramétricas.]
Passo 3
Encontrar um vetor normal \mathbf{n} ao plano. Ideia: o vetor normal é perpendicular a todo vetor do plano, então é perpendicular aos vetores diretores \mathbf{v} e \mathbf{w}. Uma forma direta de obter \mathbf{n} é calcular o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{w}.
Relembre como calcular produto vetorial: para \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) e \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3),
Portanto \mathbf{n}=(-2,\,1,\,-1). Para deixar os coeficientes mais “bonitos” podemos multiplicar por -1 sem alterar a direção normal; assim um normal equivalente é \mathbf{n}=(2,\,-1,\,1). Em provas isso é aceitável e às vezes preferível para evitar sinais desnecessários.]
Passo 5
Formar a equação do plano a partir do ponto \mathbf{r_0} e do vetor normal \mathbf{n}=(2,-1,1). A forma ponto-normal é
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0,
ou em coordenadas
2(x-1)-1(y-0)+1(z-3)=0.
Essa fórmula significa: projetar o vetor entre um ponto genérico (x,y,z) e o ponto conhecido \mathbf{r_0} sobre a direção normal; se a projeção é zero, o ponto está no plano.
Passo 6
Expandir e simplificar a equação:
2x-2 - y + z -3 =0 \quad\Longrightarrow\quad 2x - y + z -5 = 0.
Essa é a equação geral do plano na forma ax+by+cz+d=0 com a=2,\\ b=-1,\\ c=1,\\ d=-5.
Passo 7
Verificação rápida (útil para provas): substituir as expressões paramétricas na equação encontrada e checar se fica identidade em t,h. Substituindo x=1+t+h,\\ y=2t+h,\\ z=3-h em 2x-y+z-5: