Dadas as equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano
\pi:\left\{\begin{array}{l} x=1+t+h \\ y=2 t+h \\ z=3-h \end{array} \quad t, h \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas do plano \pi\): \[\pi:\begin{cases} x=1+t+h,\\[4pt] y=2t+h,\\[4pt] z=3-h, \end{cases}\qquad t,h\in\mathbb{R}.
O que se pede: obter uma equação geral do plano, ou seja, uma equação do tipo \,ax+by+cz+d=0\,\] que represente \(\pi.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (tirei diretamente das expressões paramétricas acima):
  • As coordenadas x,y,z são expressas como função dos parâmetros t e h.
  • Há dois parâmetros independentes t e h, o que indica que o lugar geométrico é um plano gerado por um ponto e duas direções.]

Passo 2

Transformar as equações paramétricas em forma vetorial para visualizar ponto e vetores diretores. Escrevendo o vetor posição \mathbf{r}=(x,y,z):
\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]3\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix} +h\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
Explicação didática: aqui a forma é \mathbf{r}=\mathbf{r_0}+t\mathbf{v}+h\mathbf{w}.
  • \mathbf{r_0}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]3\end{pmatrix} é um ponto do plano (obtido tomando t=0,h=0).
  • \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix} e \mathbf{w}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix} são dois vetores diretores do plano (coeficientes de t e h).
    No exame, esse é o passo padrão: identificar um ponto e dois vetores diretores a partir das expressões paramétricas.]

Passo 3

Encontrar um vetor normal \mathbf{n} ao plano. Ideia: o vetor normal é perpendicular a todo vetor do plano, então é perpendicular aos vetores diretores \mathbf{v} e \mathbf{w}. Uma forma direta de obter \mathbf{n} é calcular o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{w}.
Relembre como calcular produto vetorial: para \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) e \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3),
\mathbf{v}\times\mathbf{w}= \begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2\\[4pt] v_3w_1-v_1w_3\\[4pt] v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}.
Isso dá um vetor perpendicular a ambos \mathbf{v} e \mathbf{w}. Agora aplicando aos nossos vetores \mathbf{v}=(1,2,0) e \mathbf{w}=(1,1,-1):]

Passo 4

Calcule cada componente de \mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{w}:
\begin{aligned} n_x &= v_2 w_3 - v_3 w_2 = 2\cdot(-1) - 0\cdot 1 = -2,\\[4pt] n_y &= v_3 w_1 - v_1 w_3 = 0\cdot 1 - 1\cdot(-1) = 1,\\[4pt] n_z &= v_1 w_2 - v_2 w_1 = 1\cdot 1 - 2\cdot 1 = -1. \end{aligned}
Portanto \mathbf{n}=(-2,\,1,\,-1). Para deixar os coeficientes mais “bonitos” podemos multiplicar por -1 sem alterar a direção normal; assim um normal equivalente é \mathbf{n}=(2,\,-1,\,1). Em provas isso é aceitável e às vezes preferível para evitar sinais desnecessários.]

Passo 5

Formar a equação do plano a partir do ponto \mathbf{r_0} e do vetor normal \mathbf{n}=(2,-1,1). A forma ponto-normal é
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0,
ou em coordenadas
2(x-1)-1(y-0)+1(z-3)=0.
Essa fórmula significa: projetar o vetor entre um ponto genérico (x,y,z) e o ponto conhecido \mathbf{r_0} sobre a direção normal; se a projeção é zero, o ponto está no plano.

Passo 6

Expandir e simplificar a equação:
2x-2 - y + z -3 =0 \quad\Longrightarrow\quad 2x - y + z -5 = 0.
Essa é a equação geral do plano na forma ax+by+cz+d=0 com a=2,\\ b=-1,\\ c=1,\\ d=-5.

Passo 7

Verificação rápida (útil para provas): substituir as expressões paramétricas na equação encontrada e checar se fica identidade em t,h. Substituindo x=1+t+h,\\ y=2t+h,\\ z=3-h em 2x-y+z-5:
\begin{aligned} 2(1+t+h)-(2t+h)+(3-h)-5 &=2+2t+2h-2t-h+3-h-5\\[4pt] &=(2+3-5)+(2t-2t)+(2h-h-h)\\[4pt] &=0. \end{aligned}
Ficou identicamente zero para todos t,h, logo a equação está correta.]

Resposta

2x - y + z - 5 = 0

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