Nos Exercícios 1-4, a matriz dada representa uma matriz aumentada de um sistema linear. Escreva o conjunto de equações lineares correspondentes do sistema e use eliminação gaussiana para resolver o sistema linear. Introduza parâmetros livres se necessário.
Escrever o conjunto de equações lineares correspondentes (ou seja, transformar cada linha da matriz numa equação).
Resolver o sistema usando eliminação gaussiana e introduzir parâmetros livres, se necessário.
Das colunas interpreto que a primeira e a segunda são os coeficientes das incógnitas e a terceira é o termo independente. Chamarei as incógnitas de \,x_1 e \,x_2. Portanto as equações que vêm diretamente das linhas da matriz são:
Rápida explicação do método que vamos usar (eliminação gaussiana), sem assumir que já saiba: a eliminação gaussiana transforma a matriz aumentada por operações elementares de linha até obter uma forma triangular ou escalonada, de onde fica fácil ler as equações resolventes. Operações permitidas:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
O objetivo é criar zeros abaixo dos pivôs (elementos líderes) para simplificar o sistema. Se no final houver menos linhas independentes do que incógnitas, aparecem variáveis livres que introduzimos como parâmetros.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada inicial (a mesma do enunciado) explicitamente como ponto de partida:
Portanto só resta a primeira equação não-trivial. O pivô é 1 na posição (1,1); as demais linhas são redundantes (todas zero).]
Passo 6
Voltando para as equações, a única equação independente é
x_1 + 4x_2 = -1.
As outras três linhas não acrescentam informação (são 0=0 ou múltiplos da primeira). Temos duas incógnitas e apenas uma equação independente, então haverá uma variável livre. Escolho x_2 como parâmetro livre e chamo esse parâmetro de t\in\mathbb{R}:
x_2 = t.
Substituindo na equação principal:
x_1 = -1 - 4x_2 = -1 - 4t.
Passo 7
Expressando a solução de forma paramétrica (forma vetorial), obtemos