Nos Exercícios 1-4, a matriz dada representa uma matriz aumentada de um sistema linear. Escreva o conjunto de equações lineares correspondentes do sistema e use eliminação gaussiana para resolver o sistema linear. Introduza parâmetros livres se necessário.
\left[\begin{array}{rrr}1 & 4 & -1 \\\\ -2 & -8 & 2 \\\\ 3 & 12 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear (peguei os coeficientes e termos independentes da matriz fornecida). A matriz é
\left[\begin{array}{rrr}1 & 4 & -1 \\\\ -2 & -8 & 2 \\\\ 3 & 12 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right].
Preciso:
  • Escrever o conjunto de equações lineares correspondentes (ou seja, transformar cada linha da matriz numa equação).
  • Resolver o sistema usando eliminação gaussiana e introduzir parâmetros livres, se necessário.
Das colunas interpreto que a primeira e a segunda são os coeficientes das incógnitas e a terceira é o termo independente. Chamarei as incógnitas de \,x_1 e \,x_2. Portanto as equações que vêm diretamente das linhas da matriz são:
\begin{cases} x_1 + 4x_2 = -1,\\[4pt] -2x_1 - 8x_2 = 2,\\[4pt] 3x_1 + 12x_2 = -3,\\[4pt] 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 = 0. \end{cases}]

Passo 2

Rápida explicação do método que vamos usar (eliminação gaussiana), sem assumir que já saiba: a eliminação gaussiana transforma a matriz aumentada por operações elementares de linha até obter uma forma triangular ou escalonada, de onde fica fácil ler as equações resolventes. Operações permitidas:
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  • somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
O objetivo é criar zeros abaixo dos pivôs (elementos líderes) para simplificar o sistema. Se no final houver menos linhas independentes do que incógnitas, aparecem variáveis livres que introduzimos como parâmetros.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada inicial (a mesma do enunciado) explicitamente como ponto de partida:
\left[\begin{array}{rr|r} 1 & 4 & -1\\[4pt] -2 & -8 & 2\\[4pt] 3 & 12 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Aqui usei uma barra vertical para lembrar que a terceira coluna é o termo independente.]

Passo 4

Escolho o pivô na primeira linha, primeira coluna (que já é 1). Vou eliminar as entradas abaixo dele usando operações elementares:
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1 para zerar a primeira entrada da segunda linha.
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1 para zerar a primeira entrada da terceira linha.
Calculemos:
Para R_2 + 2R_1:
(-2)+2\cdot 1 = 0,\qquad -8 + 2\cdot 4 = 0,\qquad 2 + 2\cdot(-1)=0.
Para R_3 - 3R_1:
3 - 3\cdot 1 = 0,\qquad 12 - 3\cdot 4 = 0,\qquad -3 - 3\cdot(-1)=0.

Passo 5

Após essas operações a matriz fica
\left[\begin{array}{rr|r} 1 & 4 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Portanto só resta a primeira equação não-trivial. O pivô é 1 na posição (1,1); as demais linhas são redundantes (todas zero).]

Passo 6

Voltando para as equações, a única equação independente é
x_1 + 4x_2 = -1.
As outras três linhas não acrescentam informação (são 0=0 ou múltiplos da primeira). Temos duas incógnitas e apenas uma equação independente, então haverá uma variável livre. Escolho x_2 como parâmetro livre e chamo esse parâmetro de t\in\mathbb{R}:
x_2 = t.
Substituindo na equação principal:
x_1 = -1 - 4x_2 = -1 - 4t.

Passo 7

Expressando a solução de forma paramétrica (forma vetorial), obtemos
\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-4\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto descreve todas as soluções do sistema. Em palavras: existem infinitas soluções; elas formam uma reta no plano (x_1,x_2).]

Resposta

\begin{cases} x_1 + 4x_2 = -1,\\[4pt] -2x_1 - 8x_2 = 2,\\[4pt] 3x_1 + 12x_2 = -3,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
\displaystyle (x_1,x_2)=\bigl(-1-4t,\,t\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.]

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