Calcular o empuxo sobre uma comporta plana vertical imersa, com 60 mm de diâmetro. O centro da comporta dista 4 m até a superfície da água. A comporta está em uma barragem de gravidade. Calcule também, o ponto de aplicação do empuxo. Faça o esquema da instalação indicando todos os pontos dos esforços e medidas.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o empuxo (força hidrostática resultante) sobre uma comporta plana vertical circular e também o ponto de aplicação desse empuxo. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Vou assumir água limpa com massa específica e gravidade padrão:
Perguntas que o enunciado faz:
- Calcular o empuxo total
sobre a comporta. - Calcular o ponto de aplicação do empuxo (profundidade medida a partir da superfície livre).
Além disso, pedem um esquema indicando pontos, esforços e medidas — vou descrever esse esquema no passo final.
Passo 2
Conceito básico e fórmula utilizada para a força hidrostática sobre superfície plana vertical:
A pressão hidrostática a uma profundidade é
A pressão hidrostática a uma profundidade
onde
é a densidade do fluido,
a aceleração da gravidade e
a profundidade vertical abaixo da superfície livre.
Para uma superfície plana vertical imersa, a força resultante (empuxo) é igual à pressão no centróide multiplicada pela área:
Para uma superfície plana vertical imersa, a força resultante (empuxo) é igual à pressão no centróide multiplicada pela área:
onde
é a profundidade do centróide da superfície e
é a área da superfície. Vou usar essa relação porque ela simplifica (válida para superfícies planas).
Passo 3
Calcular a área da comporta circular. Raio:
Área do círculo:
Substituindo:
Passo 4
Calcular a pressão no centróide (profundidade
):
(ou seja
).
Passo 5
Calcular a força resultante (empuxo) usando
:
Interpretação física rápida: a resultante é horizontal (a pressão sobre uma superfície vertical gera força horizontal) e tem intensidade
calculada acima.
Passo 6
Agora, o ponto de aplicação do empuxo (centro de pressão) para uma superfície plana vertical: a profundidade do centro de pressão
é dada por
onde
é o momento de inércia da área em relação a um eixo horizontal que passa pelo centróide (e paralelo à superfície livre). Vou explicar cada termo:
-
é a profundidade do centróide (já dada). -
é a área da superfície. -
mede a “distribuição” da área em relação ao eixo horizontal pelo centróide; quanto maior , mais deslocado fica o centro de pressão em relação ao centróide.
Passo 7
Calcular
para o círculo (eixo horizontal que passa pelo centro do círculo): para um círculo de raio
,
Substituindo
:
Agora calcular o termo adicional
Portanto a profundidade do centro de pressão é
Ou seja, o centro de pressão fica ligeiramente abaixo do centro geométrico: o deslocamento em relação ao centróide é
Passo 8
Esquema descritivo da instalação (vou descrever o desenho que você deve traçar no papel; inclua todas as medidas e pontos citados):
- Desenhe a superfície livre horizontal no topo (marque “superfície livre”).
- Abaixo dela, desenhe a comporta circular vista de perfil (círculo) com o centro
. - Marque a distância vertical do contorno superior da superfície até o centro
: . - Marque o raio
e o diâmetro . - Indique a distribuição de pressão ao longo da comporta: setas horizontais variando linearmente com a profundidade (maiores em baixo), lembrando que cada seta representa
. - Marque o ponto de aplicação do empuxo
na linha vertical que passa pelo centro: abaixo da superfície (ou abaixo do centro ). - Marque a força resultante
atuando horizontalmente sobre a comporta no ponto com intensidade . - Se a comporta estiver apoiada por dobradiças ou um eixo, indique reações no ponto de apoio (mas o enunciado não deu detalhes geométricos do apoio, então apenas marque que haverá reação(es) de apoio que equilibram
e momentos).