Calcular o empuxo sobre uma comporta plana vertical imersa, com 60 mm de diâmetro. O centro da comporta dista 4 m até a superfície da água. A comporta está em uma barragem de gravidade. Calcule também, o ponto de aplicação do empuxo. Faça o esquema da instalação indicando todos os pontos dos esforços e medidas.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o empuxo (força hidrostática resultante) sobre uma comporta plana vertical circular e também o ponto de aplicação desse empuxo. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\text{diâmetro da comporta: } D = 60\\ \text{mm} = 0,06\\ \text{m}â
\text{distância do centro da comporta até a superfície livre: } y_c = 4\\ \text{m}âéí
Vou assumir água limpa com massa específica e gravidade padrão:
\rho = 1000\\ \text{kg/m}^3,\qquad g = 9,81\\ \text{m/s}^2.
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Calcular o empuxo total F sobre a comporta.
  2. Calcular o ponto de aplicação do empuxo (profundidade medida a partir da superfície livre).
    Além disso, pedem um esquema indicando pontos, esforços e medidas — vou descrever esse esquema no passo final.

Passo 2

Conceito básico e fórmula utilizada para a força hidrostática sobre superfície plana vertical:
A pressão hidrostática a uma profundidade y é
p(y)=\rho g y,
onde \rho é a densidade do fluido, g a aceleração da gravidade e y a profundidade vertical abaixo da superfície livre.
Para uma superfície plana vertical imersa, a força resultante (empuxo) é igual à pressão no centróide multiplicada pela área:
F = p_c \, A = \rho g y_c\, A,
onde y_c é a profundidade do centróide da superfície e A é a área da superfície. Vou usar essa relação porque ela simplifica (válida para superfícies planas).

Passo 3

Calcular a área da comporta circular. Raio:
R=\frac{D}{2}=\frac{0,06}{2}=0,03\\ \text{m}.
Área do círculo:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\pi R^2.
Substituindo:
A=\pi(0,03)^2=\pi\cdot 0,0009\approx 0,002827433\\ \text{m}^2.

Passo 4

Calcular a pressão no centróide (profundidade y_c=4\\ \text{m}):
p_c=\rho g y_c = 1000\cdot 9{,}81\cdot 4 = 39240\\ \text{Pa}.
(ou seja p_c\approx 39{,}24\\ \text{kPa}).

Passo 5

Calcular a força resultante (empuxo) usando F=p_cA:
F = 39240\cdot 0{,}002827433 \approx 110{,}95\\ \text{N}.
Interpretação física rápida: a resultante é horizontal (a pressão sobre uma superfície vertical gera força horizontal) e tem intensidade F calculada acima.

Passo 6

Agora, o ponto de aplicação do empuxo (centro de pressão) para uma superfície plana vertical: a profundidade do centro de pressão y_{cp} é dada por
y_{cp}=y_c+\frac{I_{x_c}}{y_c A},
onde I_{x_c} é o momento de inércia da área em relação a um eixo horizontal que passa pelo centróide (e paralelo à superfície livre). Vou explicar cada termo:
  • y_c é a profundidade do centróide (já dada).
  • A é a área da superfície.
  • I_{x_c} mede a “distribuição” da área em relação ao eixo horizontal pelo centróide; quanto maior I_{x_c}, mais deslocado fica o centro de pressão em relação ao centróide.

Passo 7

Calcular I_{x_c} para o círculo (eixo horizontal que passa pelo centro do círculo): para um círculo de raio R,
I_{x_c}=\frac{\pi R^4}{4}.
Substituindo R=0{,}03\\ \text{m}:
I_{x_c}=\frac{\pi(0{,}03)^4}{4}=\frac{\pi\cdot 8{,}1\times 10^{-7}}{4}\approx 6{,}3617\times 10^{-7}\\ \text{m}^4.
Agora calcular o termo adicional
\frac{I_{x_c}}{y_c A}=\frac{6{,}3617\times 10^{-7}}{4\cdot 0{,}002827433}\approx 5{,}63\times 10^{-5}\\ \text{m}.
Portanto a profundidade do centro de pressão é
y_{cp}=4 + 5{,}63\times 10^{-5}\approx 4{,}0000563\\ \text{m}.
Ou seja, o centro de pressão fica ligeiramente abaixo do centro geométrico: o deslocamento em relação ao centróide é
\Delta y = y_{cp}-y_c \approx 0{,}0000563\\ \text{m} = 0{,}0563\\ \text{mm}.

Passo 8

Esquema descritivo da instalação (vou descrever o desenho que você deve traçar no papel; inclua todas as medidas e pontos citados):
  • Desenhe a superfície livre horizontal no topo (marque “superfície livre”).
  • Abaixo dela, desenhe a comporta circular vista de perfil (círculo) com o centro O.
  • Marque a distância vertical do contorno superior da superfície até o centro O: y_c=4\\ \text{m}.
  • Marque o raio R=0{,}03\\ \text{m} e o diâmetro D=0{,}06\\ \text{m}.
  • Indique a distribuição de pressão ao longo da comporta: setas horizontais variando linearmente com a profundidade (maiores em baixo), lembrando que cada seta representa p(y)=\rho g y.
  • Marque o ponto de aplicação do empuxo CP na linha vertical que passa pelo centro: y_{cp}=4{,}0000563\\ \text{m} abaixo da superfície (ou 0{,}0000563\\ \text{m} abaixo do centro O).
  • Marque a força resultante F atuando horizontalmente sobre a comporta no ponto CP com intensidade F\approx 110{,}95\\ \text{N}.
  • Se a comporta estiver apoiada por dobradiças ou um eixo, indique reações no ponto de apoio (mas o enunciado não deu detalhes geométricos do apoio, então apenas marque que haverá reação(es) de apoio que equilibram F e momentos).

Resposta

F=110{,}95\\ \text{N}
y_{cp}=4{,}0000563\\ \text{m} (ou seja, 0{,}0000563\\ \text{m}=0{,}0563\\ \text{mm} abaixo do centro da comporta)

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