Determine a largura da base ( m ) de uma barragem de gravidade construída em alvenaria, cujo peso específico do material empregado é igual a 2.400 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. A seção transversal é triangular e a altura da barragem é igual a 3,0 \mathrm{~m}. A altura da lâmina de água é igual a 3,5 \mathrm{~m} e a resultante deve passar a 3/4b. Resp.: b=2,12 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a largura da base b (em metros) de uma barragem de gravidade com seção transversal triangular, dado que:
  • altura da barragem (altura do triângulo) H=3,0\\ \mathrm{m};
  • altura da lâmina de água (nível da água acima da base) h_{w}=3,5\\ \mathrm{m};
  • peso específico do material da barragem (massa volumétrica) é 2400\\ \mathrm{kg/m^{3}} (vou usar g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} para obter peso específico em \mathrm{N/m^{3}});
  • a resultante (linha de ação da resultante das forças peso e pressão da água) deve passar a uma distância 3/4\,b medida a partir da face de jusante ou, equivalentemente, a 0,75\,b a partir da face de montante ao longo da base.
Informações relevantes que viesam do enunciado e que vou usar:
  • geometria da seção: triângulo de base b e altura H=3,0\\ \mathrm{m};
  • a face de montante (onde a água atua) está totalmente submersa, porque h_{w}=3,5\\ \mathrm{m}>H (logo a face de montante tem pressão variando entre p_{\text{top}}=\gamma_{w}(h_{w}-H) no topo e p_{\text{bot}}=\gamma_{w}h_{w} na base);
  • a resultante da pressão hidrostática em uma face vertical tem intensidade dada pela integral da pressão e sua linha de ação (centro de pressão) pode ser obtida por integração.

Passo 2

Converto a massa volumétrica do material em peso específico (densidade de peso) e defino a densidade de água:
  • peso específico do material (massa volumétrica \rho_{m}=2400\\ \mathrm{kg/m^{3}}):
\gamma_{m}=\rho_{m}\,g=2400\cdot 9{,}81=23544\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • peso específico da água (massa volumétrica \rho_{w}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}):
\gamma_{w}=\rho_{w}\,g=1000\cdot 9{,}81=9810\\ \mathrm{N/m^{3}}.
Explicação curta: para passar de \mathrm{kg/m^{3}} para \mathrm{N/m^{3}} multiplico por g, pois peso = massa \times g.

Passo 3

Calculo o peso total por metro de comprimentos da barragem (força peso W, por unidade de comprimento na direção do eixo da barragem).
  • área da seção triangular (por unidade de comprimento):
A_{\triangle}=\tfrac{1}{2} b H=\tfrac{1}{2}\,b\cdot 3{,}0=1{,}5\,b\\ \mathrm{m^{2}}.
  • portanto o peso (força) por metro:
W=\gamma_{m}A_{\triangle}=\;23544\cdot 1{,}5\,b=35316\,b\\ \mathrm{N\\ (por\\ m)}.
Explicação: o peso é a densidade de peso vezes o volume (área da seção × 1 m de comprimento).

Passo 4

Calculo a força hidrostática resultante P e sua linha de ação vertical y_{P} medida a partir da base da barragem (base = y=0, topo da barragem = y=H).
  • a pressão na face vertical, em função da cota y (0 na base, H no topo) é
p(y)=\gamma_{w}\bigl(h_{w}-y\bigr),
pois o nível livre está a h_{w} acima da base.
  • a força total por unidade de comprimento é a integral:
P=\int_{0}^{H} p(y)\,dy=\gamma_{w}\int_{0}^{H}(h_{w}-y)\,dy=\gamma_{w}\bigl(h_{w}H-\tfrac{1}{2}H^{2}\bigr).
Substituindo h_{w}=3{,}5\\ \mathrm{m} e H=3{,}0\\ \mathrm{m}:
P=\;9810\bigl(3{,}5\cdot 3{,}0-\tfrac{1}{2}\cdot 3{,}0^{2}\bigr) =9810\bigl(10{,}5-4{,}5\bigr)=9810\cdot 6{,}0=58860\\ \mathrm{N\\ (por\\ m)}.
  • a altura do ponto de aplicação (centro de pressão) medida da base é
y_{P}=\frac{1}{P}\int_{0}^{H} y\,p(y)\,dy =\frac{\gamma_{w}\int_{0}^{H} y(h_{w}-y)\,dy}{P}.
Calculo do integrando:
\int_{0}^{H} y(h_{w}-y)\,dy=\Bigl[\tfrac{1}{2}h_{w}y^{2}-\tfrac{1}{3}y^{3}\Bigr]_{0}^{H} =\tfrac{1}{2}h_{w}H^{2}-\tfrac{1}{3}H^{3}.
Substituindo números:
\int_{0}^{3} y(3{,}5-y)\,dy=\tfrac{1}{2}\cdot 3{,}5\cdot 3^{2}-\tfrac{1}{3}\cdot 3^{3} =1{,}75\cdot 9-9=15{,}75-9=6{,}75\\ \mathrm{m^{3}}.
Logo
y_{P}=\frac{\gamma_{w}\cdot 6{,}75}{P}=\frac{9810\cdot 6{,}75}{58860}= \frac{66217{,}5}{58860}=1{,}125\\ \mathrm{m}.
Comentário: y_{P}=1{,}125\\ \mathrm{m} está medido a partir da base da barragem (ou seja, aproximadamente a 1{,}125\\ \mathrm{m} acima da base).

Passo 5

Calculo a posição horizontal do peso W (centroide do triângulo) medida a partir da face de montante (upstream). Para um triângulo reto com base b, o centroide ao longo da base fica a b/3 a partir do vértice onde a altura parte; adotando que a face de montante corresponde a x=0 e a base vai até x=b,
x_{W}=\frac{b}{3}.
Explicação: o centroide de um triângulo (medido ao longo da base) está a um terço da base a partir do vértice correspondente.

Passo 6

Determino a condição para que a resultante (combinada das forças W vertical descendente e P horizontal para jusante) atravesse a base a x_{R}=0{,}75\,b (medido a partir da face de montante).
Raciocínio físico e equação: o ponto de interseção x_{R} da resultante com a base é tal que os momentos gerados por W e P em torno de um ponto nessa base se equilibram. Tomando momentos em relação ao ponto onde a resultante cruza a base (logo o momento resultante ali é zero), os momentos de W (braço horizontal |x_{W}-x_{R}|) e de P (braço vertical y_{P}) são iguais em magnitude. Pela geometria da situação o deslocamento da linha de ação resultante é para jusante em relação a x_{W}, então:
x_{R}=x_{W}+\frac{P\,y_{P}}{W}.
Explicação curta: a componente horizontal P cria um momento de tendência de giro que deve ser equilibrado pelo braço do peso W; isolando x_{R} fica essa relação (o sinal + indica que a resultante se desloca para jusante quando há pressão).
Substituo x_{R}=0{,}75\,b e x_{W}=b/3:
0{,}75\,b=\frac{b}{3}+\frac{P\,y_{P}}{W}.

Passo 7

Substituo P, y_{P} e W nas expressões e resolvo para b.
  • P=58860\\ \mathrm{N/m}.
  • y_{P}=1{,}125\\ \mathrm{m}.
  • W=35316\,b\\ \mathrm{N/m} (veja Passo 3).
Logo:
0{,}75\,b=\frac{b}{3}+\frac{58860\cdot 1{,}125}{35316\,b}.
Multiplico ambos os lados por b para eliminar o denominador:
0{,}75\,b^{2}=\frac{1}{3}b^{2}+\frac{58860\cdot 1{,}125}{35316}.
Calculo numérico do termo constante:
\frac{58860\cdot 1{,}125}{35316}=\frac{66217{,}5}{35316}\approx 1{,}8748.
Agora a equação fica:
0{,}75\,b^{2}-\frac{1}{3}b^{2}=1{,}8748.
O coeficiente do b^{2}:
0{,}75-\tfrac{1}{3}= \tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{9-4}{12}=\tfrac{5}{12}=0{,}416666\ldots
Então:
\frac{5}{12}\,b^{2}=1{,}8748\quad\Rightarrow\quad b^{2}=\frac{12}{5}\cdot 1{,}8748=2{,}4\cdot 1{,}8748=4{,}4994.
Portanto
b=\sqrt{4{,}4994}=2{,}1217\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Arredondo o resultado com duas casas decimais (como no enunciado de resposta):
b\approx 2{,}12\\ \mathrm{m}.
Cheque rápido de plausibilidade: b positivo e da ordem de metros faz sentido para uma pequena barragem de 3\\ \mathrm{m} de altura; o valor coincide com a resposta fornecida.

Resposta

b=2{,}12\\ \mathrm{m}

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