Determine a largura da base ( m ) de uma barragem de gravidade construída em alvenaria, cujo peso específico do material empregado é igual a
. A seção transversal é triangular e a altura da barragem é igual a
. A altura da lâmina de água é igual a
e a resultante deve passar a 3/4b. Resp.:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a largura da base
(em metros) de uma barragem de gravidade com seção transversal triangular, dado que:
- altura da barragem (altura do triângulo)
; - altura da lâmina de água (nível da água acima da base)
; - peso específico do material da barragem (massa volumétrica) é
(vou usar para obter peso específico em ); - a resultante (linha de ação da resultante das forças peso e pressão da água) deve passar a uma distância
medida a partir da face de jusante ou, equivalentemente, a a partir da face de montante ao longo da base.
Informações relevantes que viesam do enunciado e que vou usar:
- geometria da seção: triângulo de base
e altura ; - a face de montante (onde a água atua) está totalmente submersa, porque
(logo a face de montante tem pressão variando entre no topo e na base); - a resultante da pressão hidrostática em uma face vertical tem intensidade dada pela integral da pressão e sua linha de ação (centro de pressão) pode ser obtida por integração.
Passo 2
Converto a massa volumétrica do material em peso específico (densidade de peso) e defino a densidade de água:
- peso específico do material (massa volumétrica
):
- peso específico da água (massa volumétrica
):
Explicação curta: para passar de
para
multiplico por
, pois peso = massa
.
Passo 3
Calculo o peso total por metro de comprimentos da barragem (força peso
, por unidade de comprimento na direção do eixo da barragem).
- área da seção triangular (por unidade de comprimento):
- portanto o peso (força) por metro:
Explicação: o peso é a densidade de peso vezes o volume (área da seção × 1 m de comprimento).
Passo 4
Calculo a força hidrostática resultante
e sua linha de ação vertical
medida a partir da base da barragem (base =
, topo da barragem =
).
- a pressão na face vertical, em função da cota
(0 na base, no topo) é
pois o nível livre está a
acima da base.
- a força total por unidade de comprimento é a integral:
Substituindo
e
:
- a altura do ponto de aplicação (centro de pressão) medida da base é
Calculo do integrando:
Substituindo números:
Logo
Comentário:
está medido a partir da base da barragem (ou seja, aproximadamente a
acima da base).
Passo 5
Calculo a posição horizontal do peso
(centroide do triângulo) medida a partir da face de montante (upstream). Para um triângulo reto com base
, o centroide ao longo da base fica a
a partir do vértice onde a altura parte; adotando que a face de montante corresponde a
e a base vai até
,
Explicação: o centroide de um triângulo (medido ao longo da base) está a um terço da base a partir do vértice correspondente.
Passo 6
Determino a condição para que a resultante (combinada das forças
vertical descendente e
horizontal para jusante) atravesse a base a
(medido a partir da face de montante).
Raciocínio físico e equação: o ponto de interseção da resultante com a base é tal que os momentos gerados por
e
em torno de um ponto nessa base se equilibram. Tomando momentos em relação ao ponto onde a resultante cruza a base (logo o momento resultante ali é zero), os momentos de
(braço horizontal
) e de
(braço vertical
) são iguais em magnitude. Pela geometria da situação o deslocamento da linha de ação resultante é para jusante em relação a
, então:
Raciocínio físico e equação: o ponto de interseção
Explicação curta: a componente horizontal
cria um momento de tendência de giro que deve ser equilibrado pelo braço do peso
; isolando
fica essa relação (o sinal + indica que a resultante se desloca para jusante quando há pressão).
Substituo
e
:
Passo 7
Substituo
,
e
nas expressões e resolvo para
.
-
. -
. -
(veja Passo 3).
Logo:
Multiplico ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Calculo numérico do termo constante:
Agora a equação fica:
O coeficiente do
:
Então:
Portanto
Passo 8
Arredondo o resultado com duas casas decimais (como no enunciado de resposta):
Cheque rápido de plausibilidade:
positivo e da ordem de metros faz sentido para uma pequena barragem de
de altura; o valor coincide com a resposta fornecida.