Calcular as equações diferenciais homogêneas:
\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}-x y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx + \bigl(x^{2}-xy\bigr)\,dy = 0
e pede a solução geral. Note que as funções
\;M(x,y)=x^{2}+y^{2}; e \;N(x,y)=x^{2}-xy são homogêneas de grau 2, então podemos usar a substituição y=vx para transformar em equação de variáveis separáveis.

Passo 2

Fazendo y=vx implica dy = v\,dx + x\,dv. Substituindo na equação original:
(x^{2}+v^{2}x^{2})\,dx \;+\;(x^{2}-v x^{2})\bigl(v\,dx + x\,dv\bigr)=0.
Isso é
x^{2}(1+v^{2})\,dx + x^{2}(1-v)\,v\,dx + x^{3}(1-v)\,dv = 0.
Agrupando os termos em dx e em dv:
x^{2}\bigl[(1+v^{2}) + v(1-v)\bigr]\,dx + x^{3}(1-v)\,dv = 0.
Como (1+v^{2}) + v(1-v)=1+v, obtemos
x^{2}(1+v)\,dx + x^{3}(1-v)\,dv = 0.

Passo 3

Divida tudo por x^{2} (supondo x\neq0):
(1+v)\,dx + x(1-v)\,dv = 0.
Reescrevendo para separar x e v:
\frac{dx}{x} = -\frac{1-v}{1+v}\,dv.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dx}{x} = \int -\frac{1-v}{1+v}\,dv.
No lado esquerdo fica \ln|x|. No direito, note que
-\frac{1-v}{1+v} = -1 + \frac{2v}{1+v},
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\int -\frac{1-v}{1+v}\,dv = \int\Bigl(-1 + \frac{2v}{1+v}\Bigr)dv = -v + 2\int\Bigl(1 - \frac{1}{1+v}\Bigr)dv = -v + 2v - 2\ln|1+v| = v - 2\ln|1+v|.
Assim
\ln|x| = v - 2\ln|1+v| + C.

Passo 5

Voltando a v=y/x, escrevemos
\ln|x| - 2\ln\Bigl|1+\frac{y}{x}\Bigr| - \frac{y}{x} = C.
Podemos combinar os logaritmos:
\ln\Bigl[x\bigl(1+\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}\Bigr] - \frac{y}{x} = C \quad\Longrightarrow\quad x\Bigl(1+\tfrac{y}{x}\Bigr)^{2}e^{-y/x} = C'.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, pode ser escrita como
\ln|x| - 2\ln\Bigl|1+\frac{y}{x}\Bigr| - \frac{y}{x} = C,
ou ainda, de forma exponencial,
x\Bigl(1+\tfrac{y}{x}\Bigr)^{2}e^{-y/x} = \text{constante}.

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