Calcular as equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral. Note que as funções
; e
são homogêneas de grau 2, então podemos usar a substituição
para transformar em equação de variáveis separáveis.
Passo 2
Fazendo
implica
. Substituindo na equação original:
Isso é
Agrupando os termos em
e em
:
Como
, obtemos
Passo 3
Divida tudo por
(supondo
):
Reescrevendo para separar
e
:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo fica
. No direito, note que
logo
Assim
Passo 5
Voltando a
, escrevemos
Podemos combinar os logaritmos:
Resposta
A solução geral, de forma implícita, pode ser escrita como
ou ainda, de forma exponencial,