Considerando uma barra de cobre mergulhada em um recipiente com água mantida a temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura da barra em um tempo (t) e satisfeita pela equação diferencial y^{\prime}=k(25-y), onde k=0.4 e y(0)=180^{\circ} \mathrm{C}. Determine a função y(t).

Passo 1

O enunciado descreve a aplicação da lei do resfriamento de Newton a uma barra de cobre imersa em água a 25^\circ\mathrm{C}. A temperatura da barra, y(t), satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
y' = k\bigl(25 - y\bigr),
com k = 0.4 e condição inicial y(0)=180^\circ\mathrm{C}. Nosso objetivo é encontrar a expressão de y(t).

Passo 2

Reconhecemos que a EDO é linear não homogênea. Colocando-a na forma padrão, temos
y' + 0.4\,y = 0.4\cdot25 = 10.
Para resolver, usamos o método do fator integrante. Calculamos
\mu(t) = e^{\int 0.4\,dt} = e^{0.4t}.

Passo 3

Multiplicamos a EDO por \mu(t):
e^{0.4t}\,y' + 0.4\,e^{0.4t}\,y = 10\,e^{0.4t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{0.4t}\bigr) = 10\,e^{0.4t}.
Integrando em relação a t:
y\,e^{0.4t} = \int 10\,e^{0.4t}\,dt = 10\cdot\frac{1}{0.4}\,e^{0.4t} + C = 25\,e^{0.4t} + C.
Isolando y, obtemos a solução geral
y(t) = 25 + C\,e^{-0.4t}.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=180:
180 = 25 + C\,e^{0} \quad\Longrightarrow\quad C = 180 - 25 = 155.
Logo, a solução particular é
y(t) = 25 + 155\,e^{-0.4t}.

Resposta

y(t) = 25 + 155\,e^{-0.4t}.

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