Calcular as equações diferenciais homogêneas:
2 x y \frac{d y}{d x}=y^{2}-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
2\,x\,y\,\frac{dy}{dx}=y^{2}-x^{2}
que é homogênea (o membro direito é função de y/x). Vamos usar a substituição
y = v\,x,
onde v=v(x), e então \frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.

Passo 2

Substituindo y=v\,x em cada termo da equação original:
o denominador 2\,x\,y=2\,x\,(v\,x)=2\,v\,x^{2} e o numerador y^{2}-x^{2} = v^{2}x^{2}-x^{2}=x^{2}(v^{2}-1).
Logo
\frac{dy}{dx} =\frac{y^{2}-x^{2}}{2\,x\,y} =\frac{x^{2}(v^{2}-1)}{2\,v\,x^{2}} =\frac{v^{2}-1}{2\,v}.
Mas também \frac{dy}{dx}=v + x\,\frac{dv}{dx}. Portanto
v + x\,\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2}-1}{2\,v}.

Passo 3

Isolando \frac{dv}{dx}:
x\,\frac{dv}{dx} =\frac{v^{2}-1}{2\,v}-v =\frac{v^{2}-1-2v^{2}}{2\,v} =-\frac{v^{2}+1}{2\,v}.
Assim
\frac{dv}{dx} =-\frac{v^{2}+1}{2\,v}\,\frac{1}{x}.
Separamos as variáveis:
\frac{2\,v}{v^{2}+1}\,dv = -\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{2\,v}{v^{2}+1}\,dv = \int -\frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(v^{2}+1\bigr) = -\ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Exponenciando e chamando C_{1}=e^{C}, temos
v^{2}+1 = C_{1}\,x^{-1} \;\Longrightarrow\; x\bigl(v^{2}+1\bigr)=C_{1}.
Voltando a v=y/x, obtém-se
x\Bigl(\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}+1\Bigr)=C_{1} \;\Longrightarrow\; \frac{y^{2}+x^{2}}{x}=C_{1} \;\Longrightarrow\; y^{2}+x^{2}=C_{1}\,x.

Resposta

y^{2}+x^{2}=C\,x,
onde C é constante arbitrária.

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