Resolva as seguintes EDOs pelo método da separação:
\frac{d y}{d x}=\frac{x-1}{e^{2 y}}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
\frac{dy}{dx} = \frac{x-1}{e^{2y}}
e pede para resolver pelo método da separação de variáveis. Vamos isolar os termos em y de um lado e os termos em x do outro, e depois integrar.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por e^{2y}\,dx para separar as variáveis:
e^{2y}\,dy = (x-1)\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada lado em relação à sua variável:
\int e^{2y}\,dy \;=\;\int (x-1)\,dx.

Passo 4

Calculemos as integrais. No lado esquerdo usamos a substituição u=2y, du=2\,dy, obtendo
\int e^{2y}\,dy = \frac{e^{2y}}{2}.
No lado direito sai
\int (x-1)\,dx = \frac{x^2}{2} - x + C.
Logo
\frac{e^{2y}}{2} = \frac{x^2}{2} - x + C.

Passo 5

Multiplicando tudo por 2 e reunindo a constante em uma só ( C_1=2C), fica
e^{2y} = x^2 - 2x + C_1.
Como e^{2y}>0, x^2 - 2x + C_1 deve ser positivo no domínio considerado.

Passo 6

Para achar y, aplicamos logaritmo natural:
2y = \ln\bigl(x^2 - 2x + C_1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^2 - 2x + C_1\bigr).

Resposta

y(x) = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^2 - 2x + C\bigr),
onde C é constante arbitrária.

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