Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercício 7
Diâmetro (m) = 0,15
Velocidade (m/s)= 0,51
Densidade
906
Tensão inicial
3
K Pas^n = 2,2
0,53
Exercício 7
Diâmetro (m) = 0,15
Velocidade (m/s)= 0,51
Densidade
Tensão inicial
K Pas^n = 2,2
Passo 1
O enunciado pede para “calcular o escoamento” de um fluido Herschel–Bulkley nas condições fornecidas. Para evitar ambiguidade vou calcular as grandezas que tipicamente se pedem num problema desses: vazão volumétrica média, taxa de deformação na parede, tensão de cisalhamento na parede (usando o modelo Herschel–Bulkley), viscosidade aparente no(s) ponto(s) relevante(s) e o número de Reynolds generalizado (para verificar o regime do escoamento). Dados fornecidos:
Esses são todos os dados que usarei; não há informação de perda de carga nem de gradiente de pressão, por isso não vou tentar obter
. Vou trabalhar com a velocidade média
dada.
Passo 2
Calcular a vazão volumétrica média
. A fórmula básica é
onde
é a área da seção circular do tubo:
Vamos calcular:
Portanto
Explicação didática: a vazão é simplesmente a velocidade média multiplicada pela área da seção — nada de fluido não-newtoniano aí, essa relação é geométrica e vale sempre para velocidade média.
Passo 3
Calcular a taxa de deformação (shear rate) na parede
para um fluido tipo lei de potência (power-law), usando a relação de Rabinowitsch–Mooney. Mesmo sendo Herschel–Bulkley (que acrescenta
), a relação que liga a velocidade média à taxa de deformação na parede depende do expoente
do termo de potência e é:
Motivação didática: para um fluido Newtoniano
. Para fluidos power-law a distribuição de velocidade muda e a correção
ajusta a estimativa para a taxa de deformação verdadeira na parede.
Aplicando números:
Logo
Passo 4
Usar o modelo Herschel–Bulkley para obter a tensão de cisalhamento na parede
. O modelo é
onde
é a tensão de escoamento (yield stress),
a consistência e
o índice de potência. Aqui queremos o valor em
, então
Cálculo numérico (mostrando etapas):
Didática: isto nos diz que, à taxa de deformação calculada, o termo plástico (yield) contribui com
e o termo dependente da taxa com cerca de
; a soma é a tensão total no contorno.
Passo 5
Calcular a viscosidade aparente local (no contorno)
. Definição prática usada em escoamento não-newtoniano:
Isto é útil porque transforma o comportamento não-linear num valor de viscosidade efetiva naquele ponto. Então
Explicação: mesmo que o fluido não tenha uma viscosidade constante, esta quantidade nos dá uma ideia do “quão viscoso” o fluido age na parede para a taxa de deformação dada.
Passo 6
Calcular um número de Reynolds generalizado para fluido power-law (Metzner–Reed) para estimar o regime de escoamento. Para fluidos power-law usa-se a forma
Motivação didática: como a viscosidade efetiva depende da taxa de deformação, a definição clássica
perde sentido direto; o Re_g ajusta essa dependência pelo expoente
e pelo factor que apareceu na Rabinowitsch–Mooney.
Cálculo passo a passo:
Portanto
Interpretação: esse valor é muito baixo (ordem de
), indicando regime laminar. Para fluidos não-newtonianos o valor crítico de transição muda com
, mas um Re_g tão pequeno garante escoamento laminar.
Passo 7
Resumo físico (motivação e conselho para prova): calculamos quantidades que se pedem frequentemente:
(vazão),
(para aplicar a lei constitutiva),
(usando Herschel–Bulkley),
e
. Em prova, proceda assim: primeiro calcule
(se pedirem), depois estime
por Rabinowitsch–Mooney, aplique a lei constitutiva para obter
, e só então calcule viscosidade aparente e número de Reynolds generalizado para afirmar o regime. Isso evita perder passos e facilita justificar um fluxo laminar/turbulento.