Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercício 7
Diâmetro (m) = 0,15
Velocidade (m/s)= 0,51
Densidade kg / m^{3}= 906
Tensão inicial Pa= 3
K Pas^n = 2,2
n = 0,53

Passo 1

O enunciado pede para “calcular o escoamento” de um fluido Herschel–Bulkley nas condições fornecidas. Para evitar ambiguidade vou calcular as grandezas que tipicamente se pedem num problema desses: vazão volumétrica média, taxa de deformação na parede, tensão de cisalhamento na parede (usando o modelo Herschel–Bulkley), viscosidade aparente no(s) ponto(s) relevante(s) e o número de Reynolds generalizado (para verificar o regime do escoamento). Dados fornecidos:
D=0{,}15\\ \text{m},\quad V=0{,}51\\ \text{m/s},\quad \rho=906\\ \text{kg/m}^3,
\tau_0=3\\ \text{Pa},\quad K=2{,}2\\ \text{Pa}\cdot\text{s}^n,\quad n=0{,}53.
Esses são todos os dados que usarei; não há informação de perda de carga nem de gradiente de pressão, por isso não vou tentar obter \Delta p. Vou trabalhar com a velocidade média V dada.

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica média \,Q. A fórmula básica é
Q = V\cdot A,
onde A é a área da seção circular do tubo:
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
Vamos calcular:
A = \frac{\pi (0{,}15)^{2}}{4}=\frac{\pi \cdot 0{,}0225}{4}=0{,}0176713\\ \text{m}^2.
Portanto
Q = 0{,}51 \cdot 0{,}0176713 = 0{,}00901\\ \text{m}^3/\text{s}.
Explicação didática: a vazão é simplesmente a velocidade média multiplicada pela área da seção — nada de fluido não-newtoniano aí, essa relação é geométrica e vale sempre para velocidade média.

Passo 3

Calcular a taxa de deformação (shear rate) na parede \dot{\gamma}_w para um fluido tipo lei de potência (power-law), usando a relação de Rabinowitsch–Mooney. Mesmo sendo Herschel–Bulkley (que acrescenta \tau_0), a relação que liga a velocidade média à taxa de deformação na parede depende do expoente n do termo de potência e é:
\dot{\gamma}_w = \frac{8V}{D}\cdot\frac{3n+1}{4n}.
Motivação didática: para um fluido Newtoniano \dot{\gamma}_w=8V/D. Para fluidos power-law a distribuição de velocidade muda e a correção \frac{3n+1}{4n} ajusta a estimativa para a taxa de deformação verdadeira na parede.
Aplicando números:
\frac{8V}{D}=\frac{8\cdot 0{,}51}{0{,}15}=27{,}20\\ \text{s}^{-1},
\frac{3n+1}{4n}=\frac{3\cdot 0{,}53+1}{4\cdot 0{,}53}=\frac{2{,}59}{2{,}12}=1{,}2217.
Logo
\dot{\gamma}_w = 27{,}20\cdot 1{,}2217 = 33{,}24\\ \text{s}^{-1}.

Passo 4

Usar o modelo Herschel–Bulkley para obter a tensão de cisalhamento na parede \tau_w. O modelo é
\tau = \tau_0 + K\,\dot{\gamma}^{\,n},
onde \tau_0 é a tensão de escoamento (yield stress), K a consistência e n o índice de potência. Aqui queremos o valor em \dot{\gamma}_w, então
\tau_w = \tau_0 + K\,\dot{\gamma}_w^{\,n}.
Cálculo numérico (mostrando etapas):
\dot{\gamma}_w^{\,n} = (33{,}24)^{0{,}53}\approx 6{,}41,
K\,\dot{\gamma}_w^{\,n} = 2{,}2\cdot 6{,}41 = 14{,}10\\ \text{Pa},
\tau_w = 3 + 14{,}10 = 17{,}10\\ \text{Pa}.
Didática: isto nos diz que, à taxa de deformação calculada, o termo plástico (yield) contribui com 3\\ \text{Pa} e o termo dependente da taxa com cerca de 14{,}1\\ \text{Pa}; a soma é a tensão total no contorno.

Passo 5

Calcular a viscosidade aparente local (no contorno) \eta_{\text{app}}. Definição prática usada em escoamento não-newtoniano:
\eta_{\text{app}} = \frac{\tau_w}{\dot{\gamma}_w}.
Isto é útil porque transforma o comportamento não-linear num valor de viscosidade efetiva naquele ponto. Então
\eta_{\text{app}} = \frac{17{,}10}{33{,}24}=0{,}515\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
Explicação: mesmo que o fluido não tenha uma viscosidade constante, esta quantidade nos dá uma ideia do “quão viscoso” o fluido age na parede para a taxa de deformação dada.

Passo 6

Calcular um número de Reynolds generalizado para fluido power-law (Metzner–Reed) para estimar o regime de escoamento. Para fluidos power-law usa-se a forma
Re_g = \frac{\rho\,V^{\,2-n}\,D^{\,n}}{K}\left(\frac{3n+1}{4n}\right)^{\!n}.
Motivação didática: como a viscosidade efetiva depende da taxa de deformação, a definição clássica Re=\rho V D/\mu perde sentido direto; o Re_g ajusta essa dependência pelo expoente n e pelo factor que apareceu na Rabinowitsch–Mooney.
Cálculo passo a passo:
V^{\,2-n}=0{,}51^{\,1{,}47}\approx 0{,}372,
D^{\,n}=0{,}15^{\,0{,}53}\approx 0{,}3666,
\frac{\rho V^{2-n} D^{n}}{K} = \frac{906\cdot 0{,}372\cdot 0{,}3666}{2{,}2}\approx 56{,}08,
\left(\frac{3n+1}{4n}\right)^{\!n} = 1{,}2217^{\,0{,}53}\approx 1{,}1117.
Portanto
Re_g = 56{,}08\cdot 1{,}1117 \approx 62{,}3.
Interpretação: esse valor é muito baixo (ordem de 10^{1}), indicando regime laminar. Para fluidos não-newtonianos o valor crítico de transição muda com n, mas um Re_g tão pequeno garante escoamento laminar.

Passo 7

Resumo físico (motivação e conselho para prova): calculamos quantidades que se pedem frequentemente: Q (vazão), \dot{\gamma}_w (para aplicar a lei constitutiva), \tau_w (usando Herschel–Bulkley), \eta_{\text{app}} e Re_g. Em prova, proceda assim: primeiro calcule Q (se pedirem), depois estime \dot{\gamma}_w por Rabinowitsch–Mooney, aplique a lei constitutiva para obter \tau_w, e só então calcule viscosidade aparente e número de Reynolds generalizado para afirmar o regime. Isso evita perder passos e facilita justificar um fluxo laminar/turbulento.

Resposta

Q = 0{,}00901\\ \text{m}^3/\text{s}
\dot{\gamma}_w = 33{,}24\\ \text{s}^{-1}
\tau_w = 17{,}10\\ \text{Pa}
\eta_{\text{app}} = 0{,}515\\ \text{Pa}\cdot\text{s}
Re_g \approx 62{,}3 (escoamento laminar)

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