Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercicio 4
Diâmetro (m) = 0,14
Velocidade (m/s)= 0,55
Densidade
971
Tensão inicial
3,18
K Pas^n = 2,1
0,58
Exercicio 4
Diâmetro (m) = 0,14
Velocidade (m/s)= 0,55
Densidade
Tensão inicial
K Pas^n = 2,1
Passo 1
O enunciado pede “Calcular o escoamento” de um líquido Herschel–Bulkley nas condições dadas. Vou interpretar isso como: calcular a vazão volumétrica e a vazão mássica do escoamento (quantidade de fluido por segundo) e, além disso, caracterizar o escoamento local (taxa de deformação na parede, tensão de cisalhamento na parede, presença de região de plugue, viscosidade aparente e número de Reynolds) para sabermos como o fluido está se comportando no tubo. Dados fornecidos:
Passo 2
Cálculo da área da seção transversal do tubo e da vazão volumétrica. Fórmula da área de um círculo:
Substituindo
:
Vazão volumétrica
é a área vezes a velocidade média
:
Passo 3
Cálculo da vazão mássica
. Relação entre vazão mássica, densidade e vazão volumétrica:
Substituindo:
Passo 4
Breve lição: equação constitutiva de Herschel–Bulkley e significado das grandezas.
A lei de Herschel–Bulkley é
A lei de Herschel–Bulkley é
onde:
-
é a tensão de cisalhamento (Pa), -
é a tensão de escoamento (yield) (Pa), -
é a consistência (unidade ), -
é a taxa de deformação (s^{-1}), -
é o índice de comportamento (adimensional).
Quandoa região fica rigidamente deslocando como um “plugue”. Para relacionar velocidade média com taxa de deformação na parede usamos uma fórmula aproximada válida para fluidos tipo lei-potência (power-law), que também costuma ser usada como aproximação útil para Herschel–Bulkley.
Passo 5
Fórmula prática para taxa de deformação na parede para um fluido power-law (correção para n):
Explico: para um fluido Newtoniano a taxa característica na parede é
. Para power-law a distribuição de velocidade muda e aparece o fator
que corrige essa taxa. Vamos aplicar com
:
Então
Passo 6
Cálculo da tensão de cisalhamento na parede usando a lei de Herschel–Bulkley:
Já temos
. Calculamos
:
Então
Interpretação rápida:
, então a parede aplica tensão suficiente para vencer o escoamento; contudo, por causa da variação radial da tensão haverá uma região central onde
(plugue).
Passo 7
Cálculo do raio do plugue. Em escoamento laminar totalmente desenvolvido em tubo a dependência radial da tensão é linear:
onde
. O plugue (região sem deformação) existe onde
. Portanto o raio do plugue
satisfaz
Com
,
Ou seja, há um plugue central de raio aproximadamente
(diâmetro do plugue ≈
).
Passo 8
Cálculo da viscosidade aparente e número de Reynolds efetivo. Uma definição prática de viscosidade aparente local na parede é:
Substituindo:
Para estimar o número de Reynolds efetivo usamos a forma usual trocando a viscosidade pela viscosidade aparente:
Substituindo:
Conclusão prática:
é claramente regime laminar (muito abaixo de 2000), o que justifica o uso das fórmulas laminares empregadas.
Passo 9
Resumo do que calculamos e observações finais:
- Vazão volumétrica
e vazão mássica são quantidades diretas (área vezes velocidade e densidade vezes vazão). - Usamos a correção de power-law para estimar a taxa de deformação na parede; com essa taxa aplicamos a lei de Herschel–Bulkley para obter
. - Comparando
com e usando a variação radial linear de obtivemos o raio do plugue. - Calculamos uma viscosidade aparente na parede e um Reynolds efetivo para caracterizar o escoamento como laminar.
- Se você estiver na prova e pedirem só “o escoamento” interprete como pelo menos
e ; se pedirem características rheológicas do escoamento (plugue, , , Re) os passos acima mostram como proceder. Força aí — tá indo bem!