Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercicio 4
Diâmetro (m) = 0,14
Velocidade (m/s)= 0,55
Densidade kg / m^{3}= 971
Tensão inicial Pa= 3,18
K Pas^n = 2,1
n = 0,58

Passo 1

O enunciado pede “Calcular o escoamento” de um líquido Herschel–Bulkley nas condições dadas. Vou interpretar isso como: calcular a vazão volumétrica e a vazão mássica do escoamento (quantidade de fluido por segundo) e, além disso, caracterizar o escoamento local (taxa de deformação na parede, tensão de cisalhamento na parede, presença de região de plugue, viscosidade aparente e número de Reynolds) para sabermos como o fluido está se comportando no tubo. Dados fornecidos:
D=0,14\\ \mathrm{m}
v=0,55\\ \mathrm{m/s}
\rho=971\\ \mathrm{kg/m^3}
\tau_0=3,18\\ \mathrm{Pa}
K=2,1\\ \mathrm{Pa\cdot s^{n}}
n=0,58

Passo 2

Cálculo da área da seção transversal do tubo e da vazão volumétrica. Fórmula da área de um círculo:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D:
A=\frac{\pi (0,14)^{2}}{4}\approx 0,01539\\ \mathrm{m^{2}}.
Vazão volumétrica Q é a área vezes a velocidade média v:
Q=A\cdot v\approx 0,01539\cdot 0,55\approx 0,008466\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 3

Cálculo da vazão mássica \dot{m}. Relação entre vazão mássica, densidade e vazão volumétrica:
\dot{m}=\rho\cdot Q.
Substituindo:
\dot{m}=971\cdot 0,008466\approx 8,22\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Breve lição: equação constitutiva de Herschel–Bulkley e significado das grandezas.
A lei de Herschel–Bulkley é
\tau=\tau_{0}+K\,\dot{\gamma}^{\,n}\quad\text{para }\tau>\tau_{0},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (Pa),
  • \tau_{0} é a tensão de escoamento (yield) (Pa),
  • K é a consistência (unidade \mathrm{Pa\cdot s^{n}}),
  • \dot{\gamma} é a taxa de deformação (s^{-1}),
  • n é o índice de comportamento (adimensional).
    Quando \tau\le\tau_{0} a região fica rigidamente deslocando como um “plugue”. Para relacionar velocidade média v com taxa de deformação na parede usamos uma fórmula aproximada válida para fluidos tipo lei-potência (power-law), que também costuma ser usada como aproximação útil para Herschel–Bulkley.

Passo 5

Fórmula prática para taxa de deformação na parede para um fluido power-law (correção para n):
\dot{\gamma}_{w}=\frac{3n+1}{4n}\cdot\frac{8v}{D}.
Explico: para um fluido Newtoniano a taxa característica na parede é \dot{\gamma}_{w,\,\text{Newton}}=8v/D. Para power-law a distribuição de velocidade muda e aparece o fator (3n+1)/(4n) que corrige essa taxa. Vamos aplicar com n=0,58:
\frac{3n+1}{4n}=\frac{3\cdot0,58+1}{4\cdot0,58}=\frac{2,74}{2,32}\approx 1,1810.
Então
\dot{\gamma}_{w}=1,1810\cdot\frac{8\cdot0,55}{0,14}\approx 1,1810\cdot31,4286\approx 37,11\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 6

Cálculo da tensão de cisalhamento na parede usando a lei de Herschel–Bulkley:
\tau_{w}=\tau_{0}+K\,\dot{\gamma}_{w}^{\,n}.
Já temos \dot{\gamma}_{w}\approx 37,11\\ \mathrm{s^{-1}}. Calculamos \dot{\gamma}_{w}^{\,n}:
37,11^{\,0,58}\approx 8,133.
Então
\tau_{w}=3,18+2,1\cdot 8,133\approx 3,18+17,08\approx 20,26\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação rápida: \tau_{w}>\tau_{0}, então a parede aplica tensão suficiente para vencer o escoamento; contudo, por causa da variação radial da tensão haverá uma região central onde \tau<\tau_{0} (plugue).

Passo 7

Cálculo do raio do plugue. Em escoamento laminar totalmente desenvolvido em tubo a dependência radial da tensão é linear:
\tau(r)=\tau_{w}\frac{r}{R},
onde R=D/2. O plugue (região sem deformação) existe onde \tau(r)\le\tau_{0}. Portanto o raio do plugue r_{0} satisfaz
\tau_{0}=\tau_{w}\frac{r_{0}}{R}\quad\Rightarrow\quad r_{0}=R\frac{\tau_{0}}{\tau_{w}}.
Com R=0,07\\ \mathrm{m},
r_{0}=0,07\cdot\frac{3,18}{20,26}\approx 0,07\cdot0,1571\approx 0,0110\\ \mathrm{m}.
Ou seja, há um plugue central de raio aproximadamente 0,0110\\ \mathrm{m} (diâmetro do plugue ≈ 0,0220\\ \mathrm{m}).

Passo 8

Cálculo da viscosidade aparente e número de Reynolds efetivo. Uma definição prática de viscosidade aparente local na parede é:
\mu_{\text{app}}=\frac{\tau_{w}}{\dot{\gamma}_{w}}.
Substituindo:
\mu_{\text{app}}=\frac{20,26}{37,11}\approx 0,546\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Para estimar o número de Reynolds efetivo usamos a forma usual trocando a viscosidade pela viscosidade aparente:
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu_{\text{app}}}.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{971\cdot 0,55\cdot 0,14}{0,546}\approx 137.
Conclusão prática: \mathrm{Re}\approx137 é claramente regime laminar (muito abaixo de 2000), o que justifica o uso das fórmulas laminares empregadas.

Passo 9

Resumo do que calculamos e observações finais:
  • Vazão volumétrica Q e vazão mássica \dot{m} são quantidades diretas (área vezes velocidade e densidade vezes vazão).
  • Usamos a correção de power-law para estimar a taxa de deformação na parede; com essa taxa aplicamos a lei de Herschel–Bulkley para obter \tau_{w}.
  • Comparando \tau_{w} com \tau_{0} e usando a variação radial linear de \tau obtivemos o raio do plugue.
  • Calculamos uma viscosidade aparente na parede e um Reynolds efetivo para caracterizar o escoamento como laminar.
  • Se você estiver na prova e pedirem só “o escoamento” interprete como pelo menos Q e \dot{m}; se pedirem características rheológicas do escoamento (plugue, \tau_{w}, \mu_{\text{app}}, Re) os passos acima mostram como proceder. Força aí — tá indo bem!

Resposta

Q\approx 0,008466\\ \mathrm{m^{3}/s}
\dot{m}\approx 8,22\\ \mathrm{kg/s}
\dot{\gamma}_{w}\approx 37,11\\ \mathrm{s^{-1}}
\tau_{w}\approx 20,26\\ \mathrm{Pa}
r_{0}\approx 0,0110\\ \mathrm{m} (raio do plugue)
\mu_{\text{app}}\approx 0,546\\ \mathrm{Pa\cdot s}
\mathrm{Re}\approx 137 (escoamento laminar)

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