Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercício 2
Diâmetro (m) = 0,14
Velocidade (m/s)= 0,93
Densidade
919
Tensão inicial
3,2
K Pas^n = 1,8
0,57
Exercício 2
Diâmetro (m) = 0,14
Velocidade (m/s)= 0,93
Densidade
Tensão inicial
K Pas^n = 1,8
Passo 1
O enunciado pede para “calcular o escoamento” de um líquido do tipo Herschel–Bulkley dadas as seguintes informações:\n
Dados fornecidos:\n
Diâmetro: \n
Velocidade média: \n
Densidade: \n
Tensão de escoamento (yield): \n
Consistência: \n
Índice de fluidez: \n
\n
O que vamos calcular (decidido a partir dos dados disponíveis):\n
Dados fornecidos:\n
Diâmetro:
Velocidade média:
Densidade:
Tensão de escoamento (yield):
Consistência:
Índice de fluidez:
\n
O que vamos calcular (decidido a partir dos dados disponíveis):\n
- Vazão volumétrica
(a partir de e ).\n - Vazão mássica
.\n - Estimativa da taxa de cisalhamento na parede
(usando a aproximação de Metzner–Reed para fluidos tipo potência) e a tensão de cisalhamento na parede para o modelo Herschel–Bulkley.\n - Raio do “plug” (região sem deformação)
e sua fração relativa .\n - Viscosidade aparente
na parede (para caracterizar o número de Reynolds não-newtoniano) e o número de Reynolds aproximado para julgar o regime de escoamento.\n
Passo 2
Breve aula: modelo Herschel–Bulkley e conceitos usados\n
O modelo Herschel–Bulkley relaciona a tensão de cisalhamento com a taxa de cisalhamento
por\n
O modelo Herschel–Bulkley relaciona a tensão de cisalhamento
onde:\n
-
é a tensão de escoamento (yield), em .\n -
é a consistência (unidade ).\n -
é o índice de fluidez (se o fluido é pseudoplástico; aqui ).\n
Em escoamento totalmente desenvolvido em tubo circular a tensão de cisalhamento varia linearmente com a posição radial:, onde é a tensão na parede e o raio do tubo. A região central em que não se deforma (plug). O raio do plug satisfaz , ou seja\n
Como a integração exata para relacionar
e
no caso Herschel–Bulkley é trabalhosa, é prática comum (e aceitável em provas) usar a aproximação para taxa de cisalhamento na parede desenvolvida para fluidos do tipo potência (Metzner–Reed), que dá uma boa estimativa de
e, a partir dela, estimar
pelo modelo Herschel–Bulkley. A fórmula empírica para fluidos tipo potência é\n
Explicação rápida dessa fórmula: para Newtoniano (
) ela reduz a
. Para
a constante
corrige a relação entre velocidade média e taxa de cisalhamento real na parede.
Passo 3
Cálculo da vazão volumétrica
e da vazão mássica
\n
Área da seção transversal:\n
Área da seção transversal:\n
Substituindo
:\n
Vazão volumétrica:\n
Vazão mássica:\n
Passo 4
Estimativa da taxa de cisalhamento na parede
usando Metzner–Reed\n
Aplicamos\n
Aplicamos\n
Com
,
e
:\n
logo\n
Passo 5
Cálculo da tensão de cisalhamento na parede
e verificação de escoamento (plug)\n
Usando o modelo Herschel–Bulkley na parede:\n
Usando o modelo Herschel–Bulkley na parede:\n
Substituindo números:\n
Como
, o fluido escoa (há região de cisalhamento próximo à parede e um plug central).\n
Fração radial do plug:\n
Fração radial do plug:\n
Raio do tubo
, portanto\n
Passo 6
Viscosidade aparente na parede
(para estimar Reynolds não-newtoniano)\n
Para um fluido do tipo potência a viscosidade aparente é\n
Para um fluido do tipo potência a viscosidade aparente é\n
Aqui usamos essa expressão usando a
estimada; substituindo
:\n
Passo 7
Número de Reynolds aproximado e regime de escoamento\n
Usamos a definição aproximada\n
Usamos a definição aproximada\n
(como interpretação prática para julgar regime usando viscosidade aparente na parede). Substituindo:\n
Interpretação:
é bem menor que os valores típicos de transição (ordem de
a
dependendo do fluido), logo o escoamento pode ser considerado laminar. Para fluidos não-newtonianos a transição depende de
, geometria e outras constantes, mas esse valor indica claramente regime laminar.
Passo 8
Resumo interpretativo (o que fizemos e por quê)\n
- Calculamos
e diretamente a partir da velocidade média e da geometria.\n - Estimamos
com a correção de Metzner–Reed (prática comum em provas) para poder aplicar o modelo Herschel–Bulkley e obter , verificar existência do plug e estimar .\n - Com
avaliamos um Reynolds aproximado e concluímos que o escoamento é laminar.\n
Se você quiser eu repito passo a passo os cálculos numéricos com mais casas decimais ou eu calculo a perda de carga (gradiente de pressão) a partir de— é só pedir.