Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercício 2
Diâmetro (m) = 0,14
Velocidade (m/s)= 0,93
Densidade kg / m^{3}= 919
Tensão inicial Pa= 3,2
K Pas^n = 1,8
n = 0,57

Passo 1

O enunciado pede para “calcular o escoamento” de um líquido do tipo Herschel–Bulkley dadas as seguintes informações:\n
Dados fornecidos:\n
Diâmetro: D=0{,}14\\ \mathrm{m}\n
Velocidade média: V=0{,}93\\ \mathrm{m/s}\n
Densidade: \rho=919\\ \mathrm{kg/m^{3}}\n
Tensão de escoamento (yield): \tau_{0}=3{,}2\\ \mathrm{Pa}\n
Consistência: K=1{,}8\\ \mathrm{Pa\;s^{n}}\n
Índice de fluidez: n=0{,}57\n
\n
O que vamos calcular (decidido a partir dos dados disponíveis):\n
  • Vazão volumétrica Q (a partir de V e D).\n
  • Vazão mássica \dot{m}.\n
  • Estimativa da taxa de cisalhamento na parede \dot{\gamma}_{w} (usando a aproximação de Metzner–Reed para fluidos tipo potência) e a tensão de cisalhamento na parede \tau_{w} para o modelo Herschel–Bulkley.\n
  • Raio do “plug” (região sem deformação) r_{0} e sua fração relativa r_{0}/R.\n
  • Viscosidade aparente \eta_{\text{app}} na parede (para caracterizar o número de Reynolds não-newtoniano) e o número de Reynolds aproximado para julgar o regime de escoamento.\n

Passo 2

Breve aula: modelo Herschel–Bulkley e conceitos usados\n
O modelo Herschel–Bulkley relaciona a tensão de cisalhamento \tau com a taxa de cisalhamento \dot{\gamma} por\n
\tau=\tau_{0}+K\,\dot{\gamma}^{\,n},\n
onde:\n
  • \tau_{0} é a tensão de escoamento (yield), em \mathrm{Pa}.\n
  • K é a consistência (unidade \mathrm{Pa\;s^{n}}).\n
  • n é o índice de fluidez (se n<1 o fluido é pseudoplástico; aqui n=0{,}57).\n
    Em escoamento totalmente desenvolvido em tubo circular a tensão de cisalhamento varia linearmente com a posição radial: \tau(r)=(r/R)\,\tau_{w}, onde \tau_{w} é a tensão na parede e R=D/2 o raio do tubo. A região central em que \tau(r)<\tau_{0} não se deforma (plug). O raio do plug r_{0} satisfaz \tau(r_{0})=\tau_{0}, ou seja\n
\frac{r_{0}}{R}=\frac{\tau_{0}}{\tau_{w}}.\n
Como a integração exata para relacionar V e \tau_{w} no caso Herschel–Bulkley é trabalhosa, é prática comum (e aceitável em provas) usar a aproximação para taxa de cisalhamento na parede desenvolvida para fluidos do tipo potência (Metzner–Reed), que dá uma boa estimativa de \dot{\gamma}_{w} e, a partir dela, estimar \tau_{w} pelo modelo Herschel–Bulkley. A fórmula empírica para fluidos tipo potência é\n
\dot{\gamma}_{w} = \frac{3n+1}{4n}\cdot\frac{8V}{D}.\n
Explicação rápida dessa fórmula: para Newtoniano ( n=1) ela reduz a \dot{\gamma}_{w}=8V/D. Para n\neq1 a constante (3n+1)/(4n) corrige a relação entre velocidade média e taxa de cisalhamento real na parede.

Passo 3

Cálculo da vazão volumétrica Q e da vazão mássica \dot{m}\n
Área da seção transversal:\n
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.\n
Substituindo D=0{,}14\\ \mathrm{m}:\n
A=\frac{\pi(0{,}14)^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot0{,}0196}{4}\approx0{,}0153938\\ \mathrm{m^{2}}.\n
Vazão volumétrica:\n
Q = V\cdot A = 0{,}93\cdot 0{,}0153938 \approx 0{,}014312\\ \mathrm{m^{3}/s}.\n
Vazão mássica:\n
\dot{m}=\rho\,Q = 919\cdot 0{,}014312 \approx 13{,}153\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Estimativa da taxa de cisalhamento na parede \dot{\gamma}_{w} usando Metzner–Reed\n
Aplicamos\n
\dot{\gamma}_{w} = \frac{3n+1}{4n}\cdot\frac{8V}{D}.\n
Com n=0{,}57, V=0{,}93\\ \mathrm{m/s} e D=0{,}14\\ \mathrm{m}:\n
\frac{3n+1}{4n}=\frac{3\cdot0{,}57+1}{4\cdot0{,}57}=\frac{2{,}71}{2{,}28}\approx1{,}188596,\n
\frac{8V}{D}=\frac{8\cdot0{,}93}{0{,}14}\approx53{,}14286\\ \mathrm{s^{-1}},\n
logo\n
\dot{\gamma}_{w}\approx 1{,}188596\cdot 53{,}14286 \approx 63{,}12\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Cálculo da tensão de cisalhamento na parede \tau_{w} e verificação de escoamento (plug)\n
Usando o modelo Herschel–Bulkley na parede:\n
\tau_{w}=\tau_{0}+K\,\dot{\gamma}_{w}^{\,n}.\n
Substituindo números:\n
\dot{\gamma}_{w}^{\,n}=(63{,}12)^{0{,}57}\approx 10{,}62,\n
K\,\dot{\gamma}_{w}^{\,n}=1{,}8\cdot 10{,}62\approx 19{,}12\\ \mathrm{Pa},\n
\tau_{w}\approx 3{,}2 + 19{,}12 = 22{,}32\\ \mathrm{Pa}.\n
Como \tau_{w}>\tau_{0}, o fluido escoa (há região de cisalhamento próximo à parede e um plug central).\n
Fração radial do plug:\n
\frac{r_{0}}{R}=\frac{\tau_{0}}{\tau_{w}}=\frac{3{,}2}{22{,}32}\approx 0{,}1435.\n
Raio do tubo R=D/2=0{,}07\\ \mathrm{m}, portanto\n
r_{0}=0{,}1435\cdot 0{,}07\\ \mathrm{m}\approx 0{,}01005\\ \mathrm{m}\approx 1{,}00\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Viscosidade aparente na parede \eta_{\text{app}} (para estimar Reynolds não-newtoniano)\n
Para um fluido do tipo potência a viscosidade aparente é\n
\eta_{\text{app}}=K\,\dot{\gamma}_{w}^{\,n-1}.\n
Aqui usamos essa expressão usando a \dot{\gamma}_{w} estimada; substituindo n-1=-0{,}43:\n
\dot{\gamma}_{w}^{\,n-1}=(63{,}12)^{-0{,}43}\approx 0{,}1686,\n
\eta_{\text{app}}=1{,}8\cdot 0{,}1686\approx 0{,}3035\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 7

Número de Reynolds aproximado e regime de escoamento\n
Usamos a definição aproximada\n
\mathrm{Re}\approx\frac{\rho V D}{\eta_{\text{app}}}\n
(como interpretação prática para julgar regime usando viscosidade aparente na parede). Substituindo:\n
\mathrm{Re}\approx\frac{919\cdot 0{,}93\cdot 0{,}14}{0{,}3035}\approx 394.\n
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 394 é bem menor que os valores típicos de transição (ordem de 10^{3} a 10^{4} dependendo do fluido), logo o escoamento pode ser considerado laminar. Para fluidos não-newtonianos a transição depende de n, geometria e outras constantes, mas esse valor indica claramente regime laminar.

Passo 8

Resumo interpretativo (o que fizemos e por quê)\n
  • Calculamos Q e \dot{m} diretamente a partir da velocidade média e da geometria.\n
  • Estimamos \dot{\gamma}_{w} com a correção de Metzner–Reed (prática comum em provas) para poder aplicar o modelo Herschel–Bulkley e obter \tau_{w}, verificar existência do plug e estimar \eta_{\text{app}}.\n
  • Com \eta_{\text{app}} avaliamos um Reynolds aproximado e concluímos que o escoamento é laminar.\n
    Se você quiser eu repito passo a passo os cálculos numéricos com mais casas decimais ou eu calculo a perda de carga (gradiente de pressão) a partir de \tau_{w} — é só pedir.

Resposta

Q \approx 0{,}014312\\ \mathrm{m^{3}/s}\n
\dot{m} \approx 13{,}15\\ \mathrm{kg/s}\n
\dot{\gamma}_{w} \approx 63{,}12\\ \mathrm{s^{-1}}\n
\tau_{w} \approx 22{,}32\\ \mathrm{Pa}\n
r_{0}/R \approx 0{,}1435 (logo r_{0}\approx 0{,}01005\\ \mathrm{m})\n
\eta_{\text{app}} \approx 0{,}3035\\ \mathrm{Pa\cdot s}\n
\mathrm{Re}\approx 394 (escoamento aproximadamente laminar)

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