Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercício 3
Diâmetro (m) = 0,11
Velocidade (m/s)= 0,42
Densidade kg / m^{3}= 968
Tensão inicial Pa= 3,08
K Pas^n = 1,8
n = 0,33

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos. O enunciado pede: “Calcular o escoamento de um líquido Herschel–Bulkley” nas condições abaixo. Dados fornecidos:
D = 0{,}11\\ \text{m}
V = 0{,}42\\ \text{m/s}
\rho = 968\\ \text{kg/m}^3
\tau_0 = 3{,}08\\ \text{Pa}\quad(\text{tensão de escoamento})ã
K = 1{,}8\\ \text{Pa}\cdot\text{s}^n
n = 0{,}33
Observação sobre o pedido: o enunciado diz somente “calcular o escoamento” — isso pode significar várias coisas (vazão volumétrica, vazão mássica, número de Reynolds característico, presença de plug, etc.). Para ser útil na prova e aproveitar todos os dados fornecidos, vou calcular, passo a passo:
  • a vazão volumétrica Q,
  • a vazão mássica \dot m,
  • um número de Reynolds generalizado adequado para fluidos do tipo power-law (usado em livros para caracterizar o regime de escoamento),
  • o parâmetro adimensional de rendimento (yield parameter) que indica se o rendimento \tau_0 é importante (isto é, se existe plug significativo).
    Não vou solicitar informações adicionais: essas quatro grandezas fazem sentido com os dados fornecidos e são as que um professor geralmente espera que você relate quando dá D, V, ρ, τ0, K e n.

Passo 2

Cálculo da área da seção transversal do tubo. Para um tubo circular a área é dada por:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Explicando cada termo: D é o diâmetro do tubo; \pi é a constante; o fator 1/4 vem de transformar diâmetro em raio ( r=D/2) e usar \pi r^2. Agora substituímos D=0{,}11\\ \text{m}:
A=\frac{\pi (0{,}11)^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot 0{,}0121}{4}\approx 0{,}0095095\\ \text{m}^2.
Interpretação prática: essa é a área por onde o fluido passa; ela será usada para obter a vazão volumétrica multiplicando pela velocidade média.

Passo 3

Cálculo da vazão volumétrica Q. Fórmula básica:
Q = A\cdot V,
onde V é a velocidade média dada. Substituindo os valores:
Q = 0{,}0095095\\ \text{m}^2 \times 0{,}42\\ \text{m/s} \approx 0{,}0039940\\ \text{m}^3/\text{s}.
Interpretação: Q é o volume de fluido que passa por uma seção em cada segundo. Em prova, se der diâmetro e velocidade média, essa é a conta direta.

Passo 4

Cálculo da vazão mássica \dot m. Relação entre vazão mássica, densidade e vazão volumétrica:
\dot m = \rho \, Q,
onde \rho é a densidade do fluido. Substituindo:
\dot m = 968\\ \text{kg/m}^3 \times 0{,}0039940\\ \text{m}^3/\text{s} \approx 3{,}8662\\ \text{kg/s}.
Interpretação: \dot m é a massa que atravessa a seção por segundo — importante em balanços de massa/energia.

Passo 5

Introdução às grandezas características para fluidos Herschel–Bulkley / power-law. Breve aula:
  • O modelo Herschel–Bulkley é dado por \tau = \tau_0 + K\dot\gamma^{\,n} para |\tau|>\tau_0, onde \tau é a tensão de cisalhamento, \tau_0 a tensão de escoamento (yield), K a consistência e n o índice de comportamento (se n<1 fluido pseudoplástico; aqui n=0{,}33 é muito pseudoplástico).
  • Para caracterizar o regime (laminar/transição/turbulento) em fluidos não-newtonianos do tipo power-law muitas vezes se usa um número de Reynolds generalizado. Uma fórmula usual (Metzner–Reed para tubos circulares adaptada ao modelo power-law) é:
\mathrm{Re}_{PL} = \frac{8^{\,n-1}\,\rho\,V^{\,2-n}\,D^{\,n}}{K}.
Explicando: \rho é a densidade, V a velocidade média, D o diâmetro, K e n da lei de potência; o fator 8^{\,n-1} aparece nas análises que relacionam taxa de cisalhamento média com V/D em tubos. Esse número é usado para estimar se o escoamento é laminar (valores muito baixos) ou não — não existe uma única fronteira universal, mas valores pequenos (algumas dezenas) indicam regime laminar típico para fluidos power-law.
  • Para avaliar a importância da tensão de escoamento \tau_0 (plug): define‑se um parâmetro adimensional do tipo
Y = \frac{\tau_0}{K\left(\dfrac{V}{D}\right)^{n}}.
Se Y é da ordem de 1 ou maior, a componente de yield é importante e haverá zona de plug (camada central praticamente rígida); se Y\ll 1 o efeito do yield é pequeno.

Passo 6

Cálculo do número de Reynolds generalizado \mathrm{Re}_{PL} usando a fórmula explicada. Primeiro calculamos os termos auxiliares com cuidado:
  • Calcular 8^{\,n-1} com n=0{,}33:
8^{\,n-1} = 8^{-0{,}67} \approx 0{,}2483.
  • Calcular V^{\,2-n} com V=0{,}42 e 2-n=1{,}67:
V^{\,2-n} = 0{,}42^{1{,}67} \approx 0{,}2348.
  • Calcular D^{\,n} com D=0{,}11 e n=0{,}33:
D^{\,n} = 0{,}11^{0{,}33} \approx 0{,}4826.
Agora montamos \mathrm{Re}_{PL}:
\mathrm{Re}_{PL} = \frac{8^{\,n-1}\,\rho\,V^{\,2-n}\,D^{\,n}}{K} \approx \frac{0{,}2483 \times 968 \times 0{,}2348 \times 0{,}4826}{1{,}8}.
Fazendo as contas por etapas:
0{,}2348\times 0{,}4826 \approx 0{,}1133,
968\times 0{,}1133 \approx 109{,}65,
\frac{0{,}2483\times 109{,}65}{1{,}8} \approx \frac{27{,}24}{1{,}8} \approx 15{,}13.
Portanto:
\mathrm{Re}_{PL} \approx 15{,}1.
Interpretação: este valor é baixo — indica escoamento em regime laminar para um fluido power‑law.

Passo 7

Cálculo do parâmetro de rendimento Y (indicador de plug). Usamos:
Y = \frac{\tau_0}{K\left(\dfrac{V}{D}\right)^{n}}.
Calculamos \dfrac{V}{D} = \dfrac{0{,}42}{0{,}11}\approx 3{,}8182\\ \text{s}^{-1}. Então
\left(\dfrac{V}{D}\right)^{n} \approx 3{,}8182^{0{,}33} \approx 1{,}5556.
Multiplicando por K:
K\left(\dfrac{V}{D}\right)^{n} \approx 1{,}8\times 1{,}5556 \approx 2{,}8000.
Finalmente
Y = \frac{3{,}08}{2{,}8000} \approx 1{,}10.
Interpretação física: Y\approx 1{,}10 indica que a tensão de escoamento \tau_0 é da mesma ordem da contribuição viscosa escalada por K (V/D)^n. Assim, existe um efeito de yield não desprezível — espera‑se formação de plug (zona central com baixa deformação), ou seja, escoamento com núcleo rígido parcialmente.

Passo 8

Conclusões práticas e como usar isso numa prova:
  • Vazão volumétrica e mássica são quantidades diretas e exigidas frequentemente: calcule A e multiplique por V para Q, e depois por \rho para \dot m.
  • Com parâmetros rheológicos (\tau_0,K,n) é útil calcular um Reynolds generalizado para power‑law e o parâmetro de yield Y. Aqui obtivemos \mathrm{Re}_{PL}\approx 15{,}1 (laminar) e Y\approx 1{,}10 (yield relevante → plug provável).
  • Para calcular queda de pressão ou perfil de velocidade completo para Herschel–Bulkley seria necessário conhecer a perda de carga ou a geometria do trecho e resolver as equações diferenciais — isso exige mais dados (por exemplo, gradiente de pressão \Delta p / L). Como o enunciado só deu D, V, ρ, τ0, K, n, os resultados que entreguei são os mais diretos e informativos para uma prova curta.

Resposta

Q \approx 0{,}0039940\\ \text{m}^3/\text{s}
\dot m \approx 3{,}8662\\ \text{kg/s}
\mathrm{Re}_{PL} \approx 15{,}1
Y \;(\text{parâmetro de yield}) \approx 1{,}10 \;(\text{yield relevante, plug provável})âá

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