Calcular o escoamento de um liquido Herschel-Bulkley nas seguintes condições:
Exercício 6
Diâmetro (m) = 0,14
Velocidade (m/s)= 0,66
Densidade kg / m^{3}= 908
Tensão inicial Pa= 3,28
K Pas^n = 2,2
n = 0,56

Passo 1

O enunciado pede para “calcular o escoamento” de um líquido Herschel-Bulkley nas condições dadas. Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que vou responder (sem ainda resolver):
  • Dados fornecidos: D = 0,14\\ \text{m}
U = 0,66\\ \text{m/s}
\rho = 908\\ \text{kg/m}^3
\tau_0 = 3,28\\ \text{Pa}
K = 2,2\\ \text{Pa}\cdot\text{s}^n
n = 0,56
  • Pergunta implícita (interpretada): “Calcular o escoamento” tem várias interpretações (vazão volumétrica, vazão mássica, número de Reynolds generalizado, perda de carga, etc.). Como o enunciado já deu a velocidade média \,U, a interpretação mais direta e útil em prova é calcular a vazão volumétrica \,Q e a vazão mássica \dot{m}. Vou proceder para obter \,Q e \dot{m}. Se você queria outra coisa (por exemplo perda de carga ou raio de plug), avise depois e eu faço.

Passo 2

Por que escolhi calcular \,Q e \dot{m}:
  • Se a velocidade média \,U está dada, a relação mais básica entre velocidade média e vazão volumétrica é simples e sempre válida: Q = A \cdot U,onde A é a área da secção transversal do duto. Essa é informação direta que você consegue usar na prova sem suposições adicionais.
  • A partir de \,Q e da densidade \rho calculamos a vazão mássica: \dot{m} = \rho \, Q.
  • Observação didática: outras quantidades específicas do modelo Herschel-Bulkley (como raios de plug, gradiente de pressão necessário para provocar escoamento, ou número de Reynolds generalizado) exigem relacionamentos mais complexos ou integração do perfil de velocidade; para isso seria preciso saber explicitamente se o fluido está em regime laminar plenamente desenvolvido e possivelmente a perda de carga ou o gradiente de pressão. Como isso não foi dado, calculamos as grandezas diretas e úteis.

Passo 3

Cálculo da área da secção transversal do tubo:
  • Fórmula (área de um círculo): A = \frac{\pi D^2}{4},onde D é o diâmetro do tubo. Aqui cada símbolo significa: A é a área ( \text{m}^2), \pi é a constante (aprox. 3,14159), D é o diâmetro em metros.
  • Substituindo D = 0,14\\ \text{m}: A = \frac{\pi \,(0,14)^2}{4}.Primeiro calculamos (0,14)^2 = 0,0196. Então A = \frac{\pi \cdot 0,0196}{4} = \pi \cdot 0,0049.Avaliando numericamente: A \approx 3{,}14159265 \times 0{,}0049 \approx 0{,}01539\\ \text{m}^2.

Passo 4

Cálculo da vazão volumétrica Q:
  • Fórmula: Q = A \cdot U,onde U é a velocidade média ( \text{m/s}).
  • Substituindo os valores: Q \approx 0{,}01539\\ \text{m}^2 \times 0{,}66\\ \text{m/s}.Multiplicando: Q \approx 0{,}010156\\ \text{m}^3/\text{s}.
  • Conversão útil (litros por segundo): 1\\ \text{m}^3 = 1000\\ \text{L}, logo Q \approx 10{,}156\\ \text{L/s}.

Passo 5

Cálculo da vazão mássica \dot{m}:
  • Fórmula: \dot{m} = \rho \, Q,onde \rho é a densidade ( \text{kg/m}^3) e Q é a vazão volumétrica ( \text{m}^3/\text{s}). O resultado tem unidade \text{kg/s}.
  • Substituindo: \dot{m} = 908\\ \text{kg/m}^3 \times 0{,}010156\\ \text{m}^3/\text{s}.Multiplicando: \dot{m} \approx 9{,}23\\ \text{kg/s}.

Passo 6

Observações finais e interpretação:
  • Valores obtidos: Q \approx 0{,}010156\\ \text{m}^3/\text{s}\quad\text{(}\approx 10{,}16\\ \text{L/s}\text{)}
\dot{m} \approx 9{,}23\\ \text{kg/s}
  • Ensino rápido: a relação Q = A U é sempre válida para velocidade média em dutos de seção constante. A densidade relaciona vazão volumétrica e vazão mássica por \dot{m} = \rho Q. Estas fórmulas são as mais básicas e indispensáveis para qualquer problema de escoamento em tubos.
  • Se você quiser que eu use os parâmetros Herschel-Bulkley \tau_0, K, n para calcular, por exemplo, o raio do plug (região com taxa de deformação nula), o perfil de velocidade ou a perda de carga associada a esse escoamento, me diga que eu faço o desenvolvimento (essas tarefas exigem usar balanço de momentos e integrar o perfil de velocidade para o modelo não-newtoniano; é um pouco mais longo, mas eu te guio passo a passo).

Resposta

Q \approx 0{,}010156\\ \text{m}^3/\text{s}
\dot{m} \approx 9{,}23\\ \text{kg/s}

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