Considere uma distribuição em massa de uma população de partículas precipitadas que possui média 50 mm e desvio-padrão 3 mm . A massa específica das partículas é 1500 kg / m^3. Calcule a área superficial total que dois quilogramas desse precipitado deve ter.

Passo 1

O enunciado dá uma população de partículas com distribuição (em massa) de diâmetro d que é aproximadamente normal, com média mud=50 mm e desvio-padrão sigmad=3 mm. A massa específica (densidade) das partículas é rho=1500 kg/ m^3. Queremos a área superficial total de 2 kg desse material. Para resolver, vamos:
1. Assumir que as partículas são esferas de diâmetro d.
2. Relacionar massa e área de uma esfera de diâmetro d.
3. Calcular a área total pela expectativa ponderada em massa.

Passo 2

Para uma esfera de diâmetro d:
– Volume: V=pi6d^3.
– Massa: m=rho,V=rho,pi6d^3.
– Área superficial: A=pi d^2.
Dessa forma, a área por unidade de massa dessa esfera é
Am =pi d^2rho,pi6d^3 =6rho,d

Passo 3

Como a distribuição é dada em massa, a área total de uma amostra de massa M é
Arm tot = M times Egl[Amgr] = M times 6rho,E!l[tfrac1dr]

Passo 4

Precisamos então estimar E[1/d]. Como sigmad/mud=3/50=0,06 é pequeno, usamos a aproximação de segunda ordem para inverso de variável:
El[1dr] approx 1mud + sigmad^2mud^3
Convertendo para metros: mud=0,05 m, sigmad=0,003 m. Logo
El[1dr] approx 10,05 + (0,003)^2(0,05)^3 =20 + 9times10^-61,25times10^-4 =20 + 0,072 =20,072 m^-1

Passo 5

Substituindo em Arm tot=M,(6/rho),E[1/d] com M=2 kg e rho=1500 kg/ m^3:
Arm tot =2times61500times20,072 =2times0,004times20,072 approx0,1606 m^2

Resposta

A área superficial total vale aproximadamente 0,16 m^2.

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