Use a expansão em Série de Taylor de f(y)=e^{y} para concluir a fórmula de Euler:
e^{i x}=\cos x+i \operatorname{sen} x \quad \text { onde } \quad i=\sqrt{-1}

Passo 1

Enunciado e dados que temos: a função dada é f(y)=e^{y}. O enunciado pede para concluir a fórmula de Euler
e^{i x}=\cos x+i \operatorname{sen} x
onde i=\sqrt{-1}. O problema já nos indica usar a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de f(y)=e^{y} como ponto de partida. Esses são todos os dados relevantes.

Passo 2

O que é a série de Taylor (Maclaurin) de uma função em torno de zero? É a representação da função como somatório de potências de y com coeficientes dados pelas derivadas no zero. A fórmula geral (Maclaurin) é
f(y)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,y^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0. Vou aplicar isso para f(y)=e^{y}.

Passo 3

Calcule as derivadas de e^{y} em zero. Para f(y)=e^{y} todas as derivadas são iguais a e^{y}, logo para todo n temos f^{(n)}(0)=e^{0}=1. Substituindo na fórmula da série obtemos a série de Maclaurin de e^{y}:
e^{y}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^{n}}{n!}.
Além disso, essa série converge para todo y\in\mathbb{C} (ou seja, tem raio de convergência infinito), então podemos substituir y por números complexos sem problema.

Passo 4

Agora substituímos y=i x na série (aqui i é a unidade imaginária, i^{2}=-1). Temos
e^{i x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i x)^{n}}{n!}.
Para manipular essa soma, vamos usar a propriedade dos poderes de i. Observe o padrão:
i^{0}=1,\quad i^{1}=i,\quad i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1,
e o padrão se repete a cada quatro expoentes. Em particular, para inteiros k\ge 0,
i^{2k}=(-1)^{k},\qquad i^{2k+1}=i(-1)^{k}.

Passo 5

Separe a soma em termos com n par e n ímpar. Escrevendo n=2k e n=2k+1 temos
e^{i x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(i x)^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(i x)^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Usando as fórmulas para i^{2k} e i^{2k+1},
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(i x)^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!},
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(i x)^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}=i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Como a série original converge absolutamente, é legítimo agrupar termos e fatorar i.

Passo 6

Agora reconheça as séries conhecidas de cosseno e seno (Maclaurin):
\cos x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}, \qquad \operatorname{sen} x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Comparando com as somas do passo anterior, obtemos
e^{i x}=\cos x+i\operatorname{sen} x.
Essa é exatamente a fórmula de Euler pedida.

Resposta

e^{i x}=\cos x+i\operatorname{sen} x

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