Use a expansão em Série de Taylor de
para concluir a fórmula de Euler:
Passo 1
Enunciado e dados que temos: a função dada é
. O enunciado pede para concluir a fórmula de Euler
onde
. O problema já nos indica usar a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de
como ponto de partida. Esses são todos os dados relevantes.
Passo 2
O que é a série de Taylor (Maclaurin) de uma função em torno de zero? É a representação da função como somatório de potências de
com coeficientes dados pelas derivadas no zero. A fórmula geral (Maclaurin) é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Vou aplicar isso para
.
Passo 3
Calcule as derivadas de
em zero. Para
todas as derivadas são iguais a
, logo para todo
temos
. Substituindo na fórmula da série obtemos a série de Maclaurin de
:
Além disso, essa série converge para todo
(ou seja, tem raio de convergência infinito), então podemos substituir
por números complexos sem problema.
Passo 4
Agora substituímos
na série (aqui
é a unidade imaginária,
). Temos
Para manipular essa soma, vamos usar a propriedade dos poderes de
. Observe o padrão:
e o padrão se repete a cada quatro expoentes. Em particular, para inteiros
,
Passo 5
Separe a soma em termos com
par e
ímpar. Escrevendo
e
temos
Usando as fórmulas para
e
,
Como a série original converge absolutamente, é legítimo agrupar termos e fatorar
.
Passo 6
Agora reconheça as séries conhecidas de cosseno e seno (Maclaurin):
Comparando com as somas do passo anterior, obtemos
Essa é exatamente a fórmula de Euler pedida.