Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L’Hôspital).
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações fornecidas: a função é
e a variável
tende para
. O enunciado pede que a gente use a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Observação inicial (sem resolver ainda): a função
é polinomial e, sendo polinomial, é contínua em todo ponto. Portanto, por continuidade, o valor do limite seria simplesmente a substituição
. Contudo o enunciado exige usar a Regra de L’Hôpital, então vamos adaptar a expressão para aplicar essa regra.
Breve aula sobre a Regra de L’Hôpital: quando temos um limite do tipo indeterminado
ou
, isto é, quando
e
(ou ambos
), sob condições técnicas, vale
ou seja, podemos calcular o limite tomando as derivadas do numerador e do denominador. Aqui
e
são as derivadas de
e
em relação a
. A regra só é aplicável se a forma for indeterminada e se o limite do quociente das derivadas existir (ou for
).
Passo 3
Transformação para usar L’Hôpital: escrevo
como soma de
com uma parte que se anula em
:
Agora noto que
é divisível por
. Vou reescrever a parcela adicional como produto envolvendo um quociente adequado:
Assim, para o limite:
desde que os limites separados existam. Vou calcular
usando L’Hôpital, porque ao substituir
obtemos a forma
:
- Numerador:
tende a . - Denominador:
tende a .
Logo é caso.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital ao quociente
:
Calculo das derivadas (regra do poder, que diz que
):
- Derivada do numerador
é (porque e ). - Derivada do denominador
é .
Pelo L’Hôpital,
Passo 5
Agora volto à expressão do passo 3. Temos
Já calculamos
. Também
. Como produto de limites finitos:
Portanto