Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L’Hôspital).
\lim _{x \rightarrow 1} 5 x^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 1} 5x^{2}.
Informações fornecidas: a função é 5x^{2} e a variável x tende para 1. O enunciado pede que a gente use a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Observação inicial (sem resolver ainda): a função 5x^{2} é polinomial e, sendo polinomial, é contínua em todo ponto. Portanto, por continuidade, o valor do limite seria simplesmente a substituição x=1. Contudo o enunciado exige usar a Regra de L’Hôpital, então vamos adaptar a expressão para aplicar essa regra.
Breve aula sobre a Regra de L’Hôpital: quando temos um limite do tipo indeterminado \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}, isto é, quando \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), sob condições técnicas, vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
ou seja, podemos calcular o limite tomando as derivadas do numerador e do denominador. Aqui f' e g' são as derivadas de f e g em relação a x. A regra só é aplicável se a forma for indeterminada e se o limite do quociente das derivadas existir (ou for \pm\infty).

Passo 3

Transformação para usar L’Hôpital: escrevo 5x^{2} como soma de 5 com uma parte que se anula em x=1:
5x^{2}=5+\bigl(5x^{2}-5\bigr).
Agora noto que \bigl(5x^{2}-5\bigr) é divisível por (x-1). Vou reescrever a parcela adicional como produto envolvendo um quociente adequado:
5x^{2}=5 + \left(\frac{5x^{2}-5}{x-1}\right)(x-1).
Assim, para o limite:
\lim_{x\to 1}5x^{2}=5+\lim_{x\to 1}\left(\frac{5x^{2}-5}{x-1}\right)\cdot\lim_{x\to 1}(x-1),
desde que os limites separados existam. Vou calcular \lim_{x\to 1}\dfrac{5x^{2}-5}{x-1} usando L’Hôpital, porque ao substituir x=1 obtemos a forma 0/0:
  • Numerador: 5x^{2}-5 tende a 5\cdot1^{2}-5=0.
  • Denominador: x-1 tende a 0.
    Logo é caso \tfrac{0}{0}.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital ao quociente \dfrac{5x^{2}-5}{x-1}:
Calculo das derivadas (regra do poder, que diz que \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}):
  • Derivada do numerador 5x^{2}-5 é 10x (porque \dfrac{d}{dx}5x^{2}=5\cdot 2x=10x e \dfrac{d}{dx}(-5)=0).
  • Derivada do denominador x-1 é 1.
Pelo L’Hôpital,
\lim_{x\to 1}\frac{5x^{2}-5}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{10x}{1}=\;10\cdot 1=10.

Passo 5

Agora volto à expressão do passo 3. Temos
\lim_{x\to 1}5x^{2}=5+\left(\lim_{x\to 1}\frac{5x^{2}-5}{x-1}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 1}(x-1)\right).
Já calculamos \lim_{x\to 1}\dfrac{5x^{2}-5}{x-1}=10. Também \lim_{x\to 1}(x-1)=0. Como produto de limites finitos:
10\cdot 0=0.
Portanto
\lim_{x\to 1}5x^{2}=5+0=5.

Resposta

5

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