Calcule:
\quad \iint_{R}\left(x^{2} \operatorname{sen}^{3}(y)\right) d A \operatorname{com} R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 3\right. e \left.0 \leq y \leq \pi / 2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}\operatorname{sen}^{3}(y)\right)\,dA
no domínio R dado por 0 \leq x \leq 3 e 0 \leq y \leq \pi/2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A região R é o retângulo com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a \pi/2.
  • A função a integrar é x^{2}\operatorname{sen}^{3}(y).
  • A pergunta é: qual é o valor numérico da integral dupla acima?

Passo 2

Observação sobre a estratégia (sem resolver ainda): a função integrando é produto de uma função que depende só de x e outra que depende só de y, isto é, pode ser escrita como
x^{2}\operatorname{sen}^{3}(y)=\big(x^{2}\big)\cdot\big(\operatorname{sen}^{3}(y)\big).
Quando a região é um retângulo como R e o integrando separa em produto de função de x por função de y, a integral dupla se separa como produto de integrais simples:
\iint_{R} x^{2}\operatorname{sen}^{3}(y)\,dA =\left(\int_{0}^{3}x^{2}\,dx\right)\cdot\left(\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}^{3}(y)\,dy\right).
Aqui eu usei a propriedade da integração sobre retângulos e o fato de que a ordem de integração não importa (podemos aplicar Fubini/toneladas de teoremas, mas o ponto prático é essa separação). Agora vou calcular cada integral simples separadamente.

Passo 3

Cálculo da integral em x:
\int_{0}^{3} x^{2}\,dx.
Regra usada: uma primitiva de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=2, portanto uma primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando nos limites:
\int_{0}^{3} x^{2}\,dx = \left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{3} = \dfrac{3^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}=\dfrac{27}{3}=9.

Passo 4

Cálculo da integral em y:
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}^{3}(y)\,dy.
Truque para potências ímpares de seno: escrever \operatorname{sen}^{3}(y)=\operatorname{sen}(y)\big(1-\cos^{2}(y)\big). Então
\int \operatorname{sen}^{3}(y)\,dy = \int \operatorname{sen}(y)\big(1-\cos^{2}(y)\big)\,dy.
Faço a substituição u=\cos(y). Então du=-\operatorname{sen}(y)\,dy, ou seja \operatorname{sen}(y)\,dy = -du. Assim a integral indefinida vira
\int \operatorname{sen}(y)\big(1-\cos^{2}(y)\big)\,dy = -\int (1-u^{2})\,du.
Integrando em u:
-\int (1-u^{2})\,du = -\left(u - \dfrac{u^{3}}{3}\right) + C = -u + \dfrac{u^{3}}{3} + C.
Voltando para y (lembre que u=\cos(y)):
\int \operatorname{sen}^{3}(y)\,dy = -\cos(y) + \dfrac{\cos^{3}(y)}{3} + C.
Agora avalio nos limites 0 e \pi/2. Sei que \cos(\pi/2)=0 e \cos(0)=1. Portanto a integral definida é
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}^{3}(y)\,dy = \left[-\cos(y)+\dfrac{\cos^{3}(y)}{3}\right]_{0}^{\pi/2} = \big( -0 + 0 \big) -\big( -1 + \dfrac{1^{3}}{3}\big) = 0 -\big(-1+\tfrac{1}{3}\big) = 1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Multiplico as duas integrais simples (sem simplificar em passo): o valor da integral dupla é
\left(\int_{0}^{3}x^{2}\,dx\right)\cdot\left(\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}^{3}(y)\,dy\right) = 9\cdot \dfrac{2}{3}.

Resposta

6

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