Calcule: \quad \iint_{R}\left(x^{2} \operatorname{sen}^{3}(y)\right) d A \operatorname{com} R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 3\right. e \left.0 \leq y \leq \pi / 2\right\}.
no domínio R dado por 0 \leq x \leq 3 e 0 \leq y \leq \pi/2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A região R é o retângulo com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a \pi/2.
A função a integrar é x^{2}\operatorname{sen}^{3}(y).
A pergunta é: qual é o valor numérico da integral dupla acima?
Passo 2
Observação sobre a estratégia (sem resolver ainda): a função integrando é produto de uma função que depende só de x e outra que depende só de y, isto é, pode ser escrita como
Quando a região é um retângulo como R e o integrando separa em produto de função de x por função de y, a integral dupla se separa como produto de integrais simples:
Aqui eu usei a propriedade da integração sobre retângulos e o fato de que a ordem de integração não importa (podemos aplicar Fubini/toneladas de teoremas, mas o ponto prático é essa separação). Agora vou calcular cada integral simples separadamente.
Passo 3
Cálculo da integral em x:
\int_{0}^{3} x^{2}\,dx.
Regra usada: uma primitiva de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=2, portanto uma primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando nos limites: