Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L’Hôspital).
\lim _{x \rightarrow 2} 3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 2} 3x.
Informações dadas: a função cujo limite queremos é f(x)=3x e o ponto de interesse é x\to 2. O enunciado manda usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeira verificação direta: tente substituir x=2 na expressão, isto é, calcule 3\cdot 2.
3\cdot 2 = 6.
Como a substituição direta fornece um número finito, o limite existe e vale 6. Vou agora explicar por que isso é suficiente e o que a Regra de L’Hôpital exige.

Passo 3

Explicando a Regra de L’Hôpital (de forma clara e passo a passo):
A Regra de L’Hôpital serve para limites de quocientes \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} quando ao avaliar diretamente obtemos uma forma indeterminada do tipo \displaystyle\frac{0}{0} ou \displaystyle\frac{\infty}{\infty}. As condições essenciais são:
\text{(i)}\quad \lim_{x\to a} f(x)=0\\ \text{e}\\ \lim_{x\to a} g(x)=0,\quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty\\ \text{e}\\ \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty,
\text{(ii)}\quad f \text{ e } g \text{ são diferenciáveis num intervalo ao redor de } a\text{ (exceto possivelmente em }a\text{)},ãá
então, se o limite abaixo existir (ou for \pm\infty),
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Importante: não se pode aplicar L’Hôpital quando a forma não é indeterminada — antes disso, verifique sempre a forma do limite.

Passo 4

Aplicando a verificação de forma ao nosso limite: podemos escrever 3x como quociente \dfrac{3x}{1}. Ao substituir x\to 2 obtemos
\lim_{x\to 2}\frac{3x}{1}=\frac{6}{1}=6.
Essa é a forma \dfrac{6}{1}, que não é indeterminada. Portanto a Regra de L’Hôpital não se aplica aqui — simplesmente não é necessária nem permitida, porque a hipótese de forma indeterminada não é satisfeita.

Passo 5

Uma observação didática (para treinar L’Hôpital): se quiséssemos construir um quociente com forma indeterminada associado a 3x, poderíamos considerar a diferença dividida pela diferença de x, por exemplo
\lim_{x\to 2}\frac{3x-6}{x-2},
que é da forma \dfrac{0}{0}. Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to 2}\frac{3x-6}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{(3x-6)'}{(x-2)'}=\lim_{x\to 2}\frac{3}{1}=3.
Esse limite lhe dá a inclinação (derivada) da reta y=3x em x=2, igual a 3. Mas atenção: esse procedimento calcula um quociente relacionado, não substitui a avaliação direta do limite original \lim_{x\to2}3x, que continua sendo 6.

Passo 6

Conclusão prática para a prova: como f(x)=3x é uma função polinomial e, portanto, contínua em todo lugar, o limite em um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Logo
\lim_{x\to 2}3x = 3\cdot 2 = 6.

Resposta

6

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