Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L’Hôspital).
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a função cujo limite queremos é
e o ponto de interesse é
. O enunciado manda usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeira verificação direta: tente substituir
na expressão, isto é, calcule
.
Como a substituição direta fornece um número finito, o limite existe e vale
. Vou agora explicar por que isso é suficiente e o que a Regra de L’Hôpital exige.
Passo 3
Explicando a Regra de L’Hôpital (de forma clara e passo a passo):
A Regra de L’Hôpital serve para limites de quocientes quando ao avaliar diretamente obtemos uma forma indeterminada do tipo
ou
. As condições essenciais são:
A Regra de L’Hôpital serve para limites de quocientes
então, se o limite abaixo existir (ou for
),
Importante: não se pode aplicar L’Hôpital quando a forma não é indeterminada — antes disso, verifique sempre a forma do limite.
Passo 4
Aplicando a verificação de forma ao nosso limite: podemos escrever
como quociente
. Ao substituir
obtemos
Essa é a forma
, que não é indeterminada. Portanto a Regra de L’Hôpital não se aplica aqui — simplesmente não é necessária nem permitida, porque a hipótese de forma indeterminada não é satisfeita.
Passo 5
Uma observação didática (para treinar L’Hôpital): se quiséssemos construir um quociente com forma indeterminada associado a
, poderíamos considerar a diferença dividida pela diferença de
, por exemplo
que é da forma
. Aplicando L’Hôpital:
Esse limite lhe dá a inclinação (derivada) da reta
em
, igual a
. Mas atenção: esse procedimento calcula um quociente relacionado, não substitui a avaliação direta do limite original
, que continua sendo
.
Passo 6
Conclusão prática para a prova: como
é uma função polinomial e, portanto, contínua em todo lugar, o limite em um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Logo