Calcule:
com
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
onde
é o quadrado
Informações relevantes dadas:
- A região
é um produto de intervalos em e (um quadrado), portanto posso transformar a integral dupla em uma integral iterada. - O integrando é
.
A tarefa é obter o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Como
é um quadrado, escrevo a integral dupla como integral iterada (escolho integrar primeiro em
, mantendo
como constante):
Justificativa rápida: em regiões retangulares a ordem de integração pode ser escolhida livremente; integrar em
primeiro costuma ser conveniente quando vejo um fator
junto de uma expressão em
.
Passo 3
Vou calcular a integral interna
para
fixo.
Observação:
é constante nessa integral, então posso tirá-lo fora:
Faço a substituição clássica para integrais do tipo
:
Diferenciando, obtenho
Os limites em
transformam-se em
:
- quando
: , - quando
: .
Portanto
Integro
usando a fórmula
(para
):
Logo
Agora simplifico
. Em geral
; como
temos
, portanto
. Assim a integral interna vale
Passo 4
Substituo esse resultado na integral externa:
Coloco o fator
fora:
Calculo separadamente as duas integrais.
- Para
faço a substituição
Os limites: quando
,
; quando
,
. Então
- Para
uso a fórmula :
Passo 5
Agora combino os resultados:
Fatorando
:
Posso simplificar
como
, então