Calcule:
\quad \iint_{R}\left(x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d A com R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 1\right. e \left.0 \leq y \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
\iint_{R} \left(x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\, dA
onde R é o quadrado
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1\}.
Informações relevantes dadas:
  • A região R é um produto de intervalos em x e y (um quadrado), portanto posso transformar a integral dupla em uma integral iterada.
  • O integrando é x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
    A tarefa é obter o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Como R é um quadrado, escrevo a integral dupla como integral iterada (escolho integrar primeiro em y, mantendo x como constante):
\iint_{R} x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{1} x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dy\right) dx.
Justificativa rápida: em regiões retangulares a ordem de integração pode ser escolhida livremente; integrar em y primeiro costuma ser conveniente quando vejo um fator y\,dy junto de uma expressão em x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Vou calcular a integral interna \int_{0}^{1} x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dy para x fixo.
Observação: x é constante nessa integral, então posso tirá-lo fora:
\int_{0}^{1} x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dy = x \int_{0}^{1} y \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dy.
Faço a substituição clássica para integrais do tipo y\sqrt{x^{2}+y^{2}}:
t = x^{2}+y^{2}.
Diferenciando, obtenho
dt = 2y\, dy \quad\Rightarrow\quad y\, dy = \frac{dt}{2}.
Os limites em y transformam-se em t:
  • quando y=0: t=x^{2},
  • quando y=1: t=x^{2}+1.
Portanto
x \int_{0}^{1} y \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dy = x \int_{t=x^{2}}^{t=x^{2}+1} \sqrt{t}\,\frac{dt}{2} = \frac{x}{2}\int_{x^{2}}^{x^{2}+1} t^{1/2}\, dt.
Integro t^{1/2} usando a fórmula \int t^{\alpha}\, dt = \dfrac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1} (para \alpha\neq -1):
\int t^{1/2}\, dt = \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} t^{3/2}.
Logo
\frac{x}{2}\cdot \frac{2}{3}\bigg[ t^{3/2} \bigg]_{t=x^{2}}^{t=x^{2}+1} = \frac{x}{3}\left((x^{2}+1)^{3/2} - (x^{2})^{3/2}\right).
Agora simplifico (x^{2})^{3/2}. Em geral (x^{2})^{3/2} = |x|^{3}; como x\in[0,1] temos |x|=x, portanto (x^{2})^{3/2}=x^{3}. Assim a integral interna vale
\int_{0}^{1} x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dy = \frac{x}{3}\left((x^{2}+1)^{3/2} - x^{3}\right).

Passo 4

Substituo esse resultado na integral externa:
\iint_{R} x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dA = \int_{0}^{1} \frac{x}{3}\left((x^{2}+1)^{3/2} - x^{3}\right)\, dx.
Coloco o fator 1/3 fora:
= \frac{1}{3}\left(\int_{0}^{1} x (x^{2}+1)^{3/2}\, dx \;-\; \int_{0}^{1} x^{4}\, dx\right).
Calculo separadamente as duas integrais.
  1. Para \int_{0}^{1} x (x^{2}+1)^{3/2}\, dx faço a substituição
u = x^{2}+1,\quad du = 2x\, dx \quad\Rightarrow\quad x\, dx = \frac{du}{2}.
Os limites: quando x=0, u=1; quando x=1, u=2. Então
\int_{0}^{1} x (x^{2}+1)^{3/2}\, dx = \int_{u=1}^{2} \frac{1}{2} u^{3/2}\, du = \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5} \big[ u^{5/2}\big]_{1}^{2} = \frac{1}{5}\left(2^{5/2}-1\right).
  1. Para \int_{0}^{1} x^{4}\, dx uso a fórmula \int x^{n} dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}:
\int_{0}^{1} x^{4}\, dx = \left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}.

Passo 5

Agora combino os resultados:
\iint_{R} x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dA = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{5}\left(2^{5/2}-1\right) - \frac{1}{5}\right).
Fatorando \dfrac{1}{5}:
= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{5}\left(2^{5/2}-1-1\right) = \frac{1}{15}\left(2^{5/2}-2\right).
Posso simplificar 2^{5/2} como 2^{2}\cdot 2^{1/2}=4\sqrt{2}, então
\frac{1}{15}\left(4\sqrt{2}-2\right) = \frac{2}{15}\left(2\sqrt{2}-1\right).

Resposta

\dfrac{2}{15}\left(2\sqrt{2}-1\right)

Exercícios relacionados