Calcular f^prime(1), se f(x)=ln (1+x)+arcsen(x / 2).

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de f no ponto x=1, onde f(x)=ln(1+x)+arcsen(x/2). O que vamos usar: a derivada de ln(u) dada por u’/u e a derivada de arcsen(u) dada por u’/√(1−u²) (regra da cadeia).

Passo 2

Vamos derivar a primeira parte f₁(x)=ln(1+x). Seja u=1+x, então u’=1 e a derivada fica f₁’(x)=1/(1+x).

Passo 3

Agora derivamos a segunda parte f₂(x)=arcsen(x/2). Seja v=x/2, então v’=1/2. A derivada de arcsen(v) é v’/√(1−v²), logo f₂’(x)=\frac{1/2}{\sqrt{1−(x/2)²}}.

Passo 4

Somando as derivadas parciais, obtemos f’(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2\sqrt{1−x²/4}}.

Passo 5

Para calcular f’(1), substituímos x=1: primeiro termo dá 1/(1+1)=1/2. No segundo temos √(1−1²/4)=√(3/4)=√3/2, então \frac{1}{2(√3/2)}=1/√3.

Passo 6

Somando, f’(1)=1/2+1/√3.

Resposta

f'(1)=12+1raiz3

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