Calcule as integrais.
integral0^3 integral0^1 integral0^2(x+y+z) d y d x d z

Passo 1

Estamos calculando a integral tripla integral0^3 integral0^1 integral0^2 (x + y + z) ,dy,dx,dz,que é um caso de integração iterada em coordenadas cartesianas. Vamos usar a propriedade de linearidade das integrais e integrar em cada variável passo a passo.

Passo 2

Pela linearidade, podemos quebrar a integral em três partes: x, y e z. Ou seja,
integral0^3 integral0^1 integral0^2 (x + y + z) ,dy,dx,dz = Ix + Iy + Iz,onde
Ix = integral0^3 integral0^1 integral0^2 x ,dy,dx,dz, Iy = integral0^3 integral0^1 integral0^2 y ,dy,dx,dz, Iz = integral0^3 integral0^1 integral0^2 z ,dy,dx,dz

Passo 3

Para calcular Ix, note que x não depende de y nem de z, então
Ix = integral0^3 integral0^1 x l(integral0^2 dyr) dx,dz = integral0^3 integral0^1 x cdot 2 ,dx,dz = 2 integral0^3 l(integral0^1 x ,dxr) dz

Passo 4

Agora
integral0^1 x ,dx = x^22|0^1 = 12,então
Ix = 2 integral0^3 12 ,dz = integral0^3 1 ,dz = 3

Passo 5

Para calcular Iy, integramos primeiro em y:
Iy = integral0^3 integral0^1 l( integral0^2 y ,dy r) dx,dz = integral0^3 integral0^1 y^22|0^2 dx,dz = integral0^3 integral0^1 2 ,dx,dz

Passo 6

Isso dá
integral0^1 2 ,dx = 2, Iy = integral0^3 2 ,dz = 6

Passo 7

Para calcular Iz, z é constante em relação a y e x:
Iz = integral0^3 integral0^1 integral0^2 z ,dy,dx,dz = integral0^3 z l(integral0^1 integral0^2 dy,dxr) dz = integral0^3 z cdot (1 times 2) ,dz = 2 integral0^3 z ,dz

Passo 8

E
integral0^3 z ,dz = z^22|0^3 = 92, Iz = 2 times 92 = 9

Passo 9

Somando tudo:
Ix + Iy + Iz = 3 + 6 + 9 = 18

Resposta

18

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