OBS: TODAS AS QUESTÕES DEVEM APRESENTAR AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS
(1,0 ponto) Considere a função f(x)=x^3-2 x^2+x-4
  1. Calcule a derivada f^prime(x) da função f(x).
  2. Determine a equação da reta tangente à curva de f(x) no ponto em que x=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x³–2x²+x–4 e pede pra calcular sua derivada (conteúdo: regras de derivação, em especial Regra da Potência e Regra da Soma) e, em seguida, usar essa derivada para encontrar a equação da reta tangente no ponto onde x=1.

Passo 2

Para derivar f(x), aplicamos a Regra da Potência termo a termo. Cada termo x^n tem derivada n·x^{n–1}. Assim:
f(x)&=x^3 - 2x^2 + x - 4, f'(x)&=3x^2 - 2cdot2x^1 + 1cdot x^0 - 0,
que simplifica para
f'(x)=3x^2 - 4x + 1

Passo 3

Agora, para achar a reta tangente em x=1, precisamos de dois dados: a inclinação m = f’(1) e o ponto de tangência (1, f(1)). Primeiro, calculamos f(1):
f(1)=1^3 - 2cdot1^2 + 1 - 4 = 1 - 2 + 1 - 4 = -4
Em seguida, a inclinação m é
m = f'(1) = 3cdot1^2 - 4cdot1 + 1 = 3 - 4 + 1 = 0

Passo 4

Com o ponto (1, -4) e inclinação m=0, usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y - y0 = m (x - x0),
substituindo y_0=-4, x_0=1 e m=0:
y - (-4) = 0 cdot (x - 1)
que dá
y + 4 = 0 Longrightarrow y = -4

Resposta

A derivada é f’(x)=3x²–4x+1 e a reta tangente em x=1 é y=–4.

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