Nos itens abaixo, esboce, descreva e classifique as regiões de integração.
0 <= y <= 8, 14 y <= x <= y^1 / 3

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos esboçar e classificar a região definida por
0 <= y <= 8, 14y <= x <= y^1/3
O conteúdo aqui é identificação de regiões elementares (para integrais duplas) e as classificações “tipo I” e “tipo II”.

Passo 2

Primeiro, é sempre bom visualizar as curvas que limitam a região. Temos
– a reta x=tfrac14y, que em coordenadas usuais é y=4x;
– a curva x=y^1/3, que reescrevemos como y=x^3;
– as retas horizontais y=0 e y=8.
Para achar onde elas se cruzam, igualamos
14y = y^1/3
Se y>0, definimos t=y^1/3 e obtemos 4t=t^3, logo t=0,,pm2. No domínio y>=0 fica t=0 (isto é, y=0) e t=2 (isto é, y=8). Assim os pontos de interseção são (0,0) e (2,8). Desenhe essas curvas identificando que, entre y=0 e y=8, a linha x=y/4 fica à esquerda da curva x=y^1/3.

Passo 3

A descrição original já está no formato “varredura vertical”: fixamos y e fazemos x variar entre duas funções de y. Isso caracteriza uma região elementar do tipo II:
0<= y<=8, 14y<= x<= y^1/3
Para ter a descrição como varredura horizontal (tipo I), invertamos as funções: de x=y/4 vem y=4x e de x=y^1/3 vem y=x^3. Essas curvas se cruzam em x=0 e x=2. Assim, em varredura horizontal:
0<= x<=2, x^3<= y<=4x

Passo 4

Concluindo a classificação: a região é um domínio elementar que pode ser integrado em qualquer ordem. Na forma dada por varredura vertical ela é do tipo II. Na forma trocada (fixando x) ela é do tipo I.

Resposta

Esboço: região no primeiro quadrante entre as curvas x=tfrac14y (reta) e x=y^1/3 (raiz cúbica), cortada por y=0 e y=8, encontrando-se em (0,0) e (2,8).
Descrição:
– Tipo II: 0<= y<=8,; tfrac14y<= x<= y^1/3
– Tipo I: 0<= x<=2,; x^3<= y<=4x
Classificação: região elementar tanto de tipo II (integração dx,dy) quanto de tipo I (integração dy,dx).

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