Nos itens abaixo, esboce, descreva e classifique as regiões de integração.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos esboçar e classificar a região definida por
O conteúdo aqui é identificação de regiões elementares (para integrais duplas) e as classificações “tipo I” e “tipo II”.
Passo 2
Primeiro, é sempre bom visualizar as curvas que limitam a região. Temos
– a reta
, que em coordenadas usuais é
;
– a curva , que reescrevemos como
;
– as retas horizontais e
.
– a curva
– as retas horizontais
Para achar onde elas se cruzam, igualamos
Se
, definimos
e obtemos
, logo
. No domínio
fica
(isto é,
) e
(isto é,
). Assim os pontos de interseção são (0,0) e (2,8). Desenhe essas curvas identificando que, entre
e
, a linha
fica à esquerda da curva
.
Passo 3
A descrição original já está no formato “varredura vertical”: fixamos
e fazemos
variar entre duas funções de
. Isso caracteriza uma região elementar do tipo II:
Para ter a descrição como varredura horizontal (tipo I), invertamos as funções: de
vem
e de
vem
. Essas curvas se cruzam em
e
. Assim, em varredura horizontal:
Passo 4
Concluindo a classificação: a região é um domínio elementar que pode ser integrado em qualquer ordem. Na forma dada por varredura vertical ela é do tipo II. Na forma trocada (fixando
) ela é do tipo I.
Resposta
Esboço: região no primeiro quadrante entre as curvas
(reta) e
(raiz cúbica), cortada por
e
, encontrando-se em (0,0) e (2,8).
Descrição:
– Tipo II:
– Tipo I:
– Tipo II:
– Tipo I:
Classificação: região elementar tanto de tipo II (integração
) quanto de tipo I (integração
).