Calcular f^prime(1), se f(x)=ln (1+x)+arcsen(x2).

Passo 1

O enunciado nos pede calcular f'(1) para a função
f(x)=ln(1+x)+arcsenl(tfracx2r)
O conteúdo envolvido é derivação de soma de funções, aplicando derivada de ln e derivada de arcsen via regra da cadeia.

Passo 2

Derivada de ln(1+x):
ddxln(1+x)=11+x
Derivada de arcsenl(tfracx2r): seja u(x)=tfracx2. Como
ddxarcsen(u)=u'raiz1-u^2,
temos u'=tfrac12 e 1-u^2=1-tfracx^24. Logo
ddxarcsenl(tfracx2r) =tfrac12raiz1-tfracx^24 =12raiz1-tfracx^24

Passo 3

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x)=11+x+12raiz1-tfracx^24

Passo 4

Para x=1:
f'(1) =11+1+12raiz1-tfrac14 =12+12raiztfrac34 =12+12cdotraiz32 =12+1raiz3

Resposta

f'(1)=12+1raiz3

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