1-
Seja T o triângulo retângulo de vértices
(0,0) (222,0) (0,90)
percorrido no sentido anti-horário. Calcule
integralT x y^22 d x+x^2 y d y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
ointTx y^22,dx + x^2y,dy
ao longo do triângulo retângulo T com vértices (0,0), (222,0) e (0,90), percorrido no sentido anti-horário.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que transforma essa linha integral num integral dupla sobre a região D interna a T.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
ointTP,dx + Q,dy ;=;integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde P(x,y)=tfracx y^22 e Q(x,y)=x^2y. Calculamos
partial Qpartial x=2xy, partial Ppartial y=x y,
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partial Qpartial x-partial Ppartial y =2xy - xy =xy

Passo 3

A região D é o triângulo com vértices em (0,0), (222,0) e (0,90). Em coordenadas,
D=(x,y)mid x>=0,;y>=0,; x222+y90<=1
Conveniente é integrar primeiro em y de 0 até 90l(1-tfracx222r), depois em x de 0 a 222. Assim
integral duplaDxy,dA =integralx=0^222l[integraly=0^90(1-x222) x,y,dyr]dx

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
integral0^90(1-x222)x,y,dy =x;gl[y^22gr]0^90(1-x222) =x2,l(90(1-tfracx222)r)^2 =4050,x1,l(1-x222r)^2
Logo a integral dupla vira
integral duplaDxy,dA =integral0^2224050,xl(1-x222r)^2dx

Passo 5

Fazemos a mudança t=tfracx222, dx=222,dt, tin[0,1]. Então
integral0^222xl(1-x222r)^2dx =222^2integral0^1t(1-t)^2dt =49284cdot112 =4107
Multiplicando por 4050 obtemos
integral duplaDxy,dA =4050cdot4107 =16633350

Resposta

16633350

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