Calcule integralC F cdot d r=integrala^b F(sigma(t)) cdot sigma^prime(t) d t, onde F: C subset R^n longrightarrow R^n (função vetorial) e C uma curva, definida pela função sigma:[a, b] longrightarrow R^n.
Verifique que integralC F cdot d r é independente do caminho, achando seu potencial, em caso afirmativo
F(x, y)=(3 x^2+2 y-y^2 e^x, 2 x-2 y e^x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr=integrala^bFl(sigma(t)r)cdotsigma'(t),dt
para
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r)=l(3x^2+2y-y^2e^x,;2x-2ye^xr),
e verificar se o resultado independe do caminho, isto é, se F é conservativa. Se for, encontraremos um potencial phi tal que nablaphi=F, e então
integralCFcdot dr=phil(sigma(b)r)-phil(sigma(a)r)

Passo 2

Verificamos a condição de campo conservativo num domínio simplesmente conexo:
partial Ppartial y =partialpartial yl(3x^2+2y-y^2e^xr) =2-2y,e^x,
partial Qpartial x =partialpartial xl(2x-2ye^xr) =2-2y,e^x
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, F é conservativa.

Passo 3

Procuramos phi(x,y) tal que
partial phipartial x=P(x,y)=3x^2+2y-y^2e^x
Integramos em relação a x, tratando y como constante:
phi(x,y)=integrall(3x^2+2y-y^2e^xr),dx =x^3+2xy-y^2e^x+g(y),
onde g(y) é função de y a determinar.

Passo 4

Impondo partialphi/partial y=Q(x,y) temos
partial phipartial y =2x-2y,e^x+g'(y) stackrel!=2x-2y,e^x,
logo g'(y)=0 e g(y) é constante (que podemos tomar zero).

Resposta

A função potencial é
phi(x,y)=x^3+2xy-y^2e^x
Logo a integral de linha independe do caminho e vale
integralCFcdot dr =phil(sigma(b)r) -phil(sigma(a)r)

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