2-
O plano
9072 x+24192 y+62208 z=1959552
divide o elipsóide
x^2144^2+y^2108^2+z^242^2=1
em dois sólidos. Se V é o volume do menor deles, qual o valor de Vpi ?
square

Passo 1

O enunciado dá o elipsóide
x^2144^2+y^2108^2+z^242^2=1
e o plano
9072,x+24192,y+62208,z=1959552
Queremos o volume V do pedaço menor e, ao final, calcular Vpi.
O método: fazer a mudança de variáveis
x=144,u, y=108,v, z=42,w,
que leva o elipsóide à esfera unitária u^2+v^2+w^2=1, aplicar a fórmula do volume de um spherical cap, e depois voltar multiplicando pelo jacobiano 144cdot108cdot42.

Passo 2

Sob x=144u,;y=108v,;z=42w a equação do plano fica
9072,(144u)+24192,(108v)+62208,(42w)=1959552
Definindo
A' =9072cdot144, B'=24192cdot108, C'=62208cdot42,
o lado esquerdo é A'u+B'v+C'w.
Calculamos
A'=9072cdot144=1306368, B'=24192cdot108=2612736, C'=62208cdot42=2612736
Então o plano é
1306368,u+2612736,v+2612736,w=1959552

Passo 3

A distância do centro (origem) ao plano em (u,v,w) é
d'=1959552raiz1306368^2+2612736^2+2612736^2
Observe que 2612736=2cdot1306368, logo
raiz1306368^2+2,(2cdot1306368)^2 =raiz1306368^2+8cdot1306368^2 =raiz9cdot1306368^2 =3cdot1306368=3919104
Portanto
d'=19595523919104=12

Passo 4

Para uma esfera de raio 1, um cap de distância d' do centro tem altura
h=1-d'=tfrac12
O volume desse cap é
Vcap=pi,h^2(3cdot1-h)3 =pi,(0,5)^2(3-0,5)3 =picdot0,25cdot2,53 =5pi24

Passo 5

Voltando ao elipsóide, multiplicamos pelo jacobiano 144cdot108cdot42. Assim
V = Vcaptimes(144cdot108cdot42) =5pi24times653184 =136080,pi
Logo
Vpi=136080

Resposta

136080

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