2-
O plano
divide o elipsóide
em dois sólidos. Se
é o volume do menor deles, qual o valor de
?
O plano
em dois sólidos. Se
Passo 1
O enunciado dá o elipsóide
e o plano
Queremos o volume
do pedaço menor e, ao final, calcular
.
O método: fazer a mudança de variáveis
O método: fazer a mudança de variáveis
que leva o elipsóide à esfera unitária
, aplicar a fórmula do volume de um spherical cap, e depois voltar multiplicando pelo jacobiano
.
Passo 2
Sob
a equação do plano fica
Definindo
o lado esquerdo é
.
Calculamos
Calculamos
Então o plano é
Passo 3
A distância do centro (origem) ao plano em
é
Observe que
, logo
Portanto
Passo 4
Para uma esfera de raio
, um cap de distância
do centro tem altura
O volume desse cap é
Passo 5
Voltando ao elipsóide, multiplicamos pelo jacobiano
. Assim
Logo