Calcular f^{\prime}(x).
f(x)=\frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x^{2} \ln x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x^{2}\ln x}.
O conteúdo aqui é derivação de quociente e propriedades de potências.

Passo 2

Reescrevemos \sqrt{x}=x^{1/2} e dividimos cada termo do numerador por x^{2}:
f(x) =\frac{x^{2}}{x^{2}\ln x}+\frac{x^{1/2}}{x^{2}\ln x} =\frac{1}{\ln x}+\frac{x^{-3/2}}{\ln x} =\frac{1+x^{-3/2}}{\ln x}.

Passo 3

Para aplicar a regra do quociente, definimos
u(x)=1+x^{-3/2}, \qquad v(x)=\ln x,
de modo que
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, \qquad \biggl(\frac{u}{v}\biggr)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.

Passo 4

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=-\frac{3}{2}\,x^{-5/2}, \qquad v'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Substituindo na regra do quociente, temos
f'(x) =\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{-\tfrac{3}{2}x^{-5/2}\ln x-\bigl(1+x^{-3/2}\bigr)\tfrac{1}{x}}{(\ln x)^{2}}.

Passo 6

Vamos simplificar o numerador. Note que
-\frac{1}{x}-x^{-5/2} =-x^{-5/2}\bigl(1+x^{3/2}\bigr),
pois \tfrac{1}{x}=x^{-1}=x^{-5/2}x^{3/2}. Assim o numerador vira
-\frac{3}{2}x^{-5/2}\ln x -\frac{1}{x}-x^{-5/2} =-x^{-5/2}\Bigl(\tfrac{3}{2}\ln x+1+x^{3/2}\Bigr).

Passo 7

Dividindo por (\ln x)^{2} e simplificando a potência de x, obtemos
f'(x) =-\frac{\tfrac{3}{2}\ln x+1+x^{3/2}}{x^{5/2}(\ln x)^{2}}.

Resposta

f'(x) =-\frac{\tfrac{3}{2}\ln x+1+x^{3/2}}{x^{5/2}(\ln x)^{2}}.

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