Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
a_{n}=\frac{(-1)^{n-1} n{4}}{1+n{2}+n^{3}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{(-1)^{n-1}\,n^{4}}{1 + n^{2} + n^{3}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo é análise de limite de sequência usando comportamento assintótico de polinômios.

Passo 2

Para entender o comportamento de a_{n} quando n\to\infty, vamos fatorar a maior potência de n que aparece no denominador, que é n^{3}. Escrevemos
1 + n^{2} + n^{3} = n^{3}\Bigl(\tfrac{1}{n^{3}} + \tfrac{1}{n} + 1\Bigr).

Passo 3

Substituindo na expressão de a_{n}, obtemos
a_{n} = \frac{(-1)^{n-1}\,n^{4}}{n^{3}\bigl(\tfrac{1}{n^{3}} + \tfrac{1}{n} + 1\bigr)} = (-1)^{n-1}\,\frac{n}{\tfrac{1}{n^{3}} + \tfrac{1}{n} + 1}.

Passo 4

À medida que n\to\infty, os termos \tfrac{1}{n^{3}} e \tfrac{1}{n} vão a zero, de modo que
a_{n} \sim (-1)^{n-1}\,\frac{n}{1} = (-1)^{n-1}\,n.
Como \bigl|a_{n}\bigr|\approx n\to\infty e o sinal alterna, os termos não se aproximam de um único valor finito.

Resposta

A sequência diverge; não existe limite finito.

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