Calcular f^{\prime}(x).
f(x)=x^{2} \ln x+2 \cdot 5^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular f'(x) para
f(x)=x^{2}\ln x \;+\;2\cdot5^{x}.
Aqui vamos usar a regra do produto para derivar x^{2}\ln x e a regra da exponencial para derivar 5^{x}.

Passo 2

Para \,x^{2}\ln x, defina u(x)=x^{2} e v(x)=\ln x. Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}[x^{2}\ln x] = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Como
u'(x)=2x, \qquad v'(x)=\frac{1}{x},
temos
\frac{d}{dx}[x^{2}\ln x] = 2x\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x.

Passo 3

Para 2\cdot5^{x}, usamos que
\frac{d}{dx}5^{x} = 5^{x}\ln 5.
Logo,
\frac{d}{dx}[2\cdot5^{x}] = 2\cdot5^{x}\ln 5.

Passo 4

Somando as duas derivadas:
f'(x) = \bigl(2x\ln x + x\bigr) + 2\cdot5^{x}\ln 5.

Resposta

f'(x)=2x\ln x + x + 2\cdot5^{x}\ln 5.

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