Calcular f^{\prime}(x).
f(x)=4 \pi+5 x^{2} \ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=4\pi+5x^2\ln x. O conteúdo aqui envolve as regras de derivação para soma, constantes, produto e logaritmo.

Passo 2

A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Como \pi é constante,
\frac{d}{dx}(4\pi)=0.
Logo,
f'(x)=0+\frac{d}{dx}\bigl(5x^2\ln x\bigr).

Passo 3

Para \frac{d}{dx}(5x^2\ln x) usamos a regra do produto. Seja u=x^2 e v=\ln x. Então
u'=2x,\quad v'=\frac{1}{x},
e
\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=u'v+uv'=2x\ln x + x.

Passo 4

Multiplicando pelo fator 5,
f'(x)=5\bigl(2x\ln x + x\bigr)=10x\ln x + 5x = 5x\,(2\ln x + 1).

Resposta

f'(x)=5x\,(2\ln x + 1).

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